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{{Ficha xenérica}}
En [[teoría de probabilidá]], la '''varianza''' o '''variancia''' (que suel representase como <math>\sigma^2</math>) d'una [[variable aleatoria]] ye una [[midida de dispersión]] definida como la [[esperanza matemática|esperanza]] del cuadráu de la esviación de felicidá variable al respective de la so media. O en poques pallabres, ye la media de los residuos al cuadráu.

La so unidá de midida correspuende al cuadráu de la unidá de midida de la variable: por casu, si la variable mide una distancia en metros, la varianza espresar en metros al cuadráu. La varianza tien como valor mínimu 0. La [[esviación estándar]] (raigañu cuadráu de la varianza) ye una midida de dispersión alternativa, espresada nes mesmes unidaes que los datos de la variable oxetu d'estudiu. 

Hai que tener en cuenta que la varianza puede trate bien influyida polos [[valor atípicu|valores atípicos]] y nun s'aconseya'l so usu cuando les distribuciones de les variables aleatories tienen coles pesaes. En tales casos encamiéntase l'usu d'otres midíes de dispersión más [[estadística robusta|robustes]].

El términu ''varianza'' foi acuñáu por [[Ronald Fisher]] nun artículu publicáu en xineru de 1919 col títulu ''The Correlation Between Relatives on the Supposition of [[Lleis de Mendel|Mendelian Inheritance]]''.<ref>Fisher, R. A. (1919). «The Correlation Between Relatives on the Supposition of [[Lleis de Mendel|Mendelian Inheritance]]» [http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=8358911 Transactions of the Royal Society of Edinburgh] Vol. 52, 02, pp 399-433.</ref>

== Definición ==
Si tenemos un conxuntu de datos d'una mesma variable, la varianza calcular de la siguiente forma:
:<math>\sigma_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(X_i - \overline{X} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) - \overline{X}^2= \frac {1} {n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j>i}\left( X_i-X_j \right)^2</math>
Siendo:
* <math>X_i</math>: cada datu *
<math>\overline{X}</math>:media de los datos
* <math>n</math>: númberu de datos

=== Variable aleatoria ===

Aplicando esti conceutu a una variable aleatoria con [[esperanza matemática|media]] μ = Y[''X''], defínese'l so '''varianza''', Var(''X'') (tamién representada como <math>\sigma_X^2</math> o, a cencielles σ<sup>2</sup>), como

:<math>\sigma_X^2 = \operatorname{Y}[ ( X - \mu ) ^ 2].\,</math>

Desenvolviendo la definición anterior, llógrase la siguiente definición alternativa (y equivalente):

:<math>
\begin{align}
\sigma_X^2 & = \operatorname{Y}[ ( X - \mu ) ^ 2 ] \\
& = \operatorname{Y}[ ( X ^ 2 - 2X\mu + \mu ^ 2) ] \\
& = \operatorname{Y}[ X ^ 2] - 2\mu\operatorname{Y}[X] + \mu ^ 2 \\
& =\operatorname{Y}[ X ^ 2] - 2\mu ^ 2 + \mu ^ 2 \\
& = \operatorname{Y} [ X ^ 2] - \mu ^ 2.
\end{align}
</math>

Si una distribución nun tien esperanza, como asocede cola de [[distribución de Cauchy|Cauchy]], tampoco tien varianza. Esisten otres distribuciones que, entá teniendo esperanza, escarecen de varianza. Un exemplu d'elles ye la de [[distribución de Pareto|Pareto]] cuando'l so índiz ''k'' satisfai {{nowrap|1 < ''k'' ≤ 2}}.

=== Casu continuu ===

Si la variable aleatoria ''X'' ye [[Variable discreta y variable continua|continua]] con [[función de densidá]] ''f''(''x''), entós

:<math>\sigma_X^2 =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,,</math>
onde :<math>\mu
= \int x \, f(x) \, dx\,,</math>
y les integrales tán definíes sobre'l [[rangu (estadística)|rangu]] de ''X''.

=== Casu discretu ===

Si la variable aleatoria ''X'' ye [[Variable discreta y variable continua|discreta]] con pesos ''x''<sub>1</sub>&nbsp;↦&nbsp;''p''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>&nbsp;↦&nbsp;''p''<sub>''n''</sub> y n ye la cantidá total de datos, entós tenemos:

:<math>\sigma_X^2 = ( \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2)</math>

onde

:<math>\mu = ( \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i ) </math> .

== Exemplos ==
=== Distribución esponencial ===
La [[distribución esponencial]] de parámetru λ ye una distribución continua con soporte nel intervalu [0,∞) y función de densidá

:<math>f(x) = \lambda y^{-\lambda x}1_{[0,\infty)}(x),\,</math>

Tien media μ = λ<sup>−1</sup>. Poro, el so varianza ye:

:<math>\int_0^\infty f(x) (x - \mu)^2\,dx = \int_0^\infty \lambda y^{-\lambda x} (x - \lambda^{-1})^2\,dx = \lambda^{-2}.\,</math>

Esto ye, σ<sup>2</sup> = μ<sup>2</sup>.

=== Dadu perfectu ===
Un [[dadu]] de seis cares puede representase como una variable aleatoria discreta que toma, valores del 1 al 6 con probabilidá igual a <sup>1</sup>/<sub>6</sub>. El valor esperáu ye (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Poro, el so varianza ye:

:<math>\sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6} (i - 3,5)^2 = \tfrac{1}{6}\left((-2,5)^2{+}(-1,5)^2{+}(-0,5)^2{+}0,5^2{+}1,5^2{+}2,5^2\right) = \tfrac{1}{6} \cdot 17,50 = \tfrac{35}{12} \approx 2,92\,.</math>

== Propiedaes de la varianza ==

Delles propiedaes de la varianza son:
* <math>V(X) \geq 0 \,\!</math>
* <math>V(aX + b) = a^2 V(X) \,\!</math> siendo ''a'' y ''b'' númberos reales cualesquier. D'esta propiedá deduzse que la varianza d'una constante ye cero, esto ye, <math>V(b) = 0 \,\!</math>
* <math>V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y) \,\!</math>, onde Cov(''X'',''Y'') ye la [[covarianza]] de ''X'' y ''Y''.
* <math>V(X-Y) = V(X)+V(Y)-2Cov(X,Y) \,\!</math>, onde Cov(''X'',''Y'') ye la covarianza de ''X'' y ''Y''.

== Varianza muestral ==

En munches situaciones ye precisu envalorar la varianza d'una población a partir d'una [[muestra estadística|muestra]]. Si toma una muestra con reemplazu <math>(y_1,\dots,y_n)</math> de ''n'' valores d'ella, d'ente tolos [[estimador]]es posibles de la varianza de la [[población estadística|población]] de partida, esisten dos d'usu corriente:

:<math>s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2</math>
:que la so demostración ye:
:<math>\begin {align} s_n^2 &= \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2
\overline{y}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i + \overline{y}^2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2
\overline{y}^2 + \overline{y}^2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2
\end{align}</math>
:
y :<math>s^2
= \frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \frac{\sum_{i=1}^n y_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1}</math>
:que la so demostración ye:
:<math>\begin{align}
s^2 &= \frac {1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 \\
 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) \\
 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{2\overline{y}}{n-1} \sum_{i=1}^{n} y_i + \frac{\overline{y}^2}{n-1} \sum_{i=1}^{n} 1\\
 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{2\overline{y}n}{n-1}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i + \frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{2\overline{y}^2n}{n-1}+\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
 &=\frac{\sum_{i=1}^n y_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1}
\end{align}
</math>
:
Cuando los datos tán arrexuntaos:

<math>s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i^2\right) - \overline{y}^2</math>
:que la so demostración ye:
:<math>\begin {align} s_n^2 &= \frac 1n \sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i \left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f_i y_i^2-2
\overline{y}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i + \overline{y}^2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i\\&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i^2-2
\overline{y}^2 + \overline{y}^2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f_iy_i^2\right) - \overline{y}^2 \end{align}</math>
y :<math>s^2
= \frac{\sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2}{n-1} = \frac{\sum_{i=1}^n f_i y_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1}</math>
:
:que la so demostración ye:
:<math>\begin{align}
s^2 & = \frac{\sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2}{n-1}\\
& =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i \left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) \\
& = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i^2-\frac{2\overline{y}}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i + \frac{\overline{y}^2}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i\\
& = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}f_i y_i^2-\frac{2\overline{y}n}{n-1}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i + \frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
& = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}f_iy_i^2-\frac{2\overline{y}^2n}{n-1}+\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
& = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}f_i y_i^2-\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
& = \frac{\sum_{i=1}^n f_iy_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1}
\end{align}


</math>
:
:
A los dos (cuando ta estremáu por n y cuando lo ta por n-1) denominar '''varianza muestral'''. Difieren llixeramente y, pa valores grandes de ''n'', la diferencia ye irrelevante. El primeru tresllada direutamente la varianza de la muestra al de la población y el segundu ye un [[sesgu estadísticu|estimador insesgado]] de la varianza de la [[población estadística|población]]. Ello ye que

:<math>
\begin{align}
\operatorname{Y}[s^2] & = \operatorname{Y}\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n Y_i^2 ~ - ~ \frac{n}{n-1} \overline{Y}^2 \right] \\
& = \frac{1}{n-1}\left( \sum \operatorname{Y}[Y_i^2] ~ - ~ n \operatorname{Y}[\overline{Y}^2] \right) \\
& = \frac{1}{n-1}\left( n \operatorname{Y}[Y_1^2] ~ - ~ n \operatorname{Y}[\overline{Y}^2] \right) \\
& = \frac{n}{n-1}\left( \operatorname{Var}(Y_1) + \operatorname{Y}[Y_1]^2 ~ - ~ \operatorname{Var}(\overline{Y}) - \operatorname{Y}[\overline{Y}]^2 \right) \\
& = \frac{n}{n-1}\left( \operatorname{Var}(Y_1) + \mu^2 ~ - ~ \frac{1}{n}\operatorname{Var}(Y_1) - \mu^2 \right) \\
& = \frac{n}{n-1}\left( \frac{n-1}{n} ~ \operatorname{Var}(Y_1) \right) \\
& = \operatorname{Var}(Y_1) \\
& = \sigma^2
\end{align}
</math>

ente que

:<math>Y[s_n^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2</math>

=== Propiedaes de la varianza muestral ===

De resultes de la igualdá <math> \operatorname{Y}(s^2)=\sigma^2</math>, ''s''<sup>2</sup> ye un estadísticu insesgado de <math>\sigma^2</math>. Amás, si cumplen les condiciones necesaries pa la [[llei de los grandes númberos]], ''s''<sup>2</sup> ye un [[consistencia (estadística)|estimador consistente]] de <math>\sigma^2</math>.

Entá más, cuando les muestres siguen una [[distribución normal]], pol [[teorema de Cochran]], <math>s^2</math> tien la [[distribución chi-cuadráu]]:

:<math>
(n-1)\frac{s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}.
</math>


=== Interpretaciones de la varianza muestral ===
Dexamos tres fórmules equivalentes pal cálculu de la varianza muestral <math>s_n </math>
:<math>s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2=
\frac{1}{n^2} \sum_{i<j}\left(y_i-y_j\right)^2</math> (Demostración xeométrica en <nowiki>http://www.solin.16mb.com/estadistica_js/MediayDesviacion.htm</nowiki>)

Esta última igualdá tien interés pa interpretar los estimadores <math>s^2 </math> y <math>s_n^2 </math>, pos si quier evaluase la esviación d'unos datos o les sos diferencies, puede optase por calcular el permediu de los cuadraos de les diferencies de cada par de datos:
:<math>2s_n^2= \frac { \sum_{\left(i\leqslant n, j \leqslant n \right)} \left(y_i - y_j \right)^ 2}{n^2}</math>. Nótese que'l númberu de sumandos ye <math> n^2</math>.

O puede considerase el permediu de los cuadraos de les diferencies de cada par de datos ensin tener en cuenta cada datu consigo mesmu, agora'l númberu de sumandos ye <math> n\left(n - 1\right)</math>.
:<math>2s^2 = \frac {\sum_{i\neq j} \left(y_i - y_j \right)^ 2}{n\left(n - 1\right)}</math>

== Ver tamién ==
* [[Esviación típica|Esviación típica o esviación estándar]]
* [[Esperanza matemática|Esperanza matemática o valor esperáu]]
* [[Covarianza]]
* [[Analís de varianza]]

== Referencies ==
{{llistaref}}

== Enllaces esternos ==
* [http://cajael.com/mestadisticos/T1EDescriptiva/node6.php] Simulación de la varianza d'una variable discreta con [[R (llinguaxe de programación)]]
* [www.solin.16mb.com/estadistica_js/MediayDesviacion.htm] Un triángulu rectángulu.




{{Tradubot|Varianza}}

{{control d'autoridaes}}
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[[Categoría:Teoría de probabilidaes]]
[[Categoría:Analís de datos]]