Teorema fundamental de l'álxebra

De Wikipedia
Saltar a navegación Saltar a la gueta

El teorema fundamental de la álxebra establez que tou polinomiu de grau mayor que cero tien un raigañu.[1] El dominiu de la variable ye'l conxuntu de los númberos complexos, que ye una estensión[2] de los númberos reales.

Anque esti enunciáu, en principiu, paez ser una declaración débil, implica que tou polinomiu de grau n d'una variable con grau mayor que cero con coeficientes complexos tien, cuntando les multiplicidáes, esactamente n raigaños complexos. La equivalencia d'estos dos enunciaos realizar por aciu la división polinómica socesiva por factores lliniales.

Hai munches demostraciones d'esta importante proposición, que riquen bastantes conocencies matemátiques pa formalizales.

Historia[editar | editar la fonte]

Pedro Rothe (Petrus Roth), nel so llibru Arithmetica Philosophica (publicáu en 1608), escribió qu'una ecuación polinómica de grau (con coeficientes reales) puede tener soluciones. Alberto Girardo, nel so llibru L'invention nouvelle en l'Algebre (publicáu en 1629), aseveró qu'una ecuación de grau tien soluciones, pero nun menta que diches soluciones tengan de ser númberos reales. Entá más, él amiesta qu'el so aseveración ye válida "sacantes la ecuación sía incompleta", colo que quier dicir que nengún de los coeficientes del polinomiu sía igual a cero. Sicasí, cuando esplica en detalle a qué se ta refiriendo, faise evidente que l'autor piensa que la aseveración siempres ye cierta; en particular, amuesa que la ecuación

a pesar de ser incompleta, tien les siguientes cuatro soluciones (el raigañu 1 tien multiplicidá 2):

Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conxeturaron lo contrario.

Como se va mentar de nuevu más palantre, siguir del teorema fundamental de la álxebra que tou polinomiu con coeficientes reales y de grau mayor que cero se puede escribir como un productu de polinomios con coeficientes reales del cual los sos graos son 1 o 2. De toes formes, en 1702 Leibniz dixo que nengún polinomiu de tipu (con a real y distintu de 0) puede escribise en tal manera. Depués, Nikolaus Bernoulli fixo la mesma afirmación tocante al polinomiu , pero recibió una carta de Euler en 1742 nel que-y dicía qu'el so polinomiu pasaba a ser igual a:

con α igual a raigañu cuadráu de 4 + 2√7. Igualmente mentó que:

El primer intentu que se fixo pa demostrar el teorema facer d'Alembert en 1746. La so demostración tenía un fallu, en cuantes qu'asumía implícitamente como ciertu un teorema (anguaño conocíu como'l teorema de Puiseux) que nun sería demostráu hasta un sieglu más tarde. Ente otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar esti teorema.

A finales del sieglu XVIII, presentáronse dos nueves pruebes, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero dambes igualmente incorrectes. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta pal teorema, enunciando'l teorema fundamental de la álxebra pa polinomios con coeficientes complexos. Gauss produció otru par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta postrera otra versión de la so demostración orixinal.

El primer llibru de testu que contién la demostración d'esti teorema foi escritu por Cauchy. Trátase de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba ye la debida a Argand, sicasí, nel testu nun se-y da creitu.

Nenguna de les pruebes mentaes más arriba son constructives. Ye Weierstrass quien per primer vegada, a mediaos del sieglu XIX, menta'l problema d'atopar una prueba constructiva del teorema fundamental de la álxebra. En 1891 publica una demostración d'esti tipu. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba d'esti estilu, que depués sería simplificada pol so fíu Marin Kneser en 1981.

Enunciáu y equivalencies[editar | editar la fonte]

El teorema enúnciase comúnmente de la siguiente manera:

Tou polinomiu nuna variable de grau n ≥ 1 con coeficientes reales o complexos tien a lo menos un raigañu (real o complexa).[3]

Ye llargamente conocíu tamién l'enunciáu: Un polinomiu nuna variable, non constante y con coeficientes complexos, tien tantos raigaños[4] como indica'l so grau, cuntando los raigaños colos sos multiplicidáes. N'otres pallabres, dáu un polinomiu complexu p(z) de grau n ≥ 1, la ecuación p(z) = 0 tien esactamente n soluciones complexes, cuntando multiplicidaes.

Otres formes equivalentes del teorema son:

  • El cuerpu de los complexos ye zarráu pa les operaciones alxebraiques.
  • Tou polinomiu complexu de grau n ≥ 1 puede espresase como un productu de n polinomios lliniales, ye dicir

Demostración[editar | editar la fonte]

Sía un polinomiu de grau . ye una función entera. Pa cada constante positiva , esiste un númberu real positivu tal que

Si nun tien raigaños, la función , ye una función entera cola propiedá de que pa cualquier númberu real mayor que cero, esiste un númberu positvo tal que

Concluyimos que la función ye acutada. Pero'l teorema de Liouville diz que si ye una función entero y acutao, entós, ye constante y esto ye una contradicción.

De manera que nun ye entera y por tanto tien siquier un raigañu. puede escribise por tantu como'l productu

onde ye un raigañu de y ye un polinomiu de grau . Pol argumentu anterior, el polinomiu de la mesma tien siquier un raigañu y poder factorizar nuevamente.

Repitiendo esti procesu vegaes,[5] concluyimos que'l polinomiu p puede escribise como'l productu

onde ... son los raigaños de (non necesariamente distintes) y ye una constante.

Corolarios[editar | editar la fonte]

Como'l teorema fundamental de la álxebra puede ser vistu como la declaración de que'l cuerpu de los númberos complexos ye algebraicamente zarráu, síguese que cualesquier teorema tocante a cuerpos algebraicamente zarraos apliquen al cuerpu de los númberos complexos. Amuésense equí delles consecuencies del teorema, avera del cuerpu de los númberos reales o alrodiu de les rellaciones ente'l cuerpu de los reales y el cuerpu de los complexos:

  • Tou polinomiu mónico nuna variable con coeficientes racionales ye'l productu d'un binomiu de la forma con racional, y de un trinomiu de la forma con y racionales y (que ye lo mesmo que dicir que'l trinomiu nun ye resoluble nel conxuntu de los númberos reales).[6]
  • Toa función racional nuna variable , con coeficientes reales, puede escribise como la suma d'una función polinómica con funciones racionales de la forma (onde ye un númberu natural, y y son númberos reales), y funciones racionales de la forma (onde ye un númberu natural, y , , , y son númberos reales tales que ). Un corolariu d'esto ye que toa función racional nuna variable y coeficientes reales tien una primitiva elemental.

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. William R. Derick: "Variable Complexa con aplicaciones". ISBN 968-7270-35-5
  2. Úsase subconxuntu; pero 'hiperconjunto' bien raru
  3. J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C. A. Trejo. Analís matemáticu I. Buenos Aires: Kapelusz, §18-1. El testu diz: Toa ecuación alxebraica nuna incógnita z de grau n ≥ 1.... La cita foi afecha al contestu del artículu.
  4. Dizse que'l númberu ye un raigañu d'un polinomiu si .
  5. Nel últimu pasu, lo que queda ye un polinomiu de grau unu multiplicáu por una constante
  6. Kurosch. «Álxebra cimera» Editorial Mir, Moscú (1980)

Bibliografía[editar | editar la fonte]

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]



Teorema fundamental del álgebra