Teoría de Galois

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Évariste Galois (1811–1832)

En matemáticas, la teoría de Galois ye una colección de resultancies que conecten la teoría de cuerpos cola teoría de grupos. La teoría de Galois tien aplicación a diversos problemes de la teoría de cuerpos, y que gracies a esti desenvolvimientu, pueden ser amenorgaos a problemes más senciellos de la teoría de grupos. La teoría de Galois debe'l so nome al matemáticu francés Évariste Galois (1811-1832), fináu a la edá de 20 años.

Aplicaciones de la teoría de Galois[editar | editar la fonte]

La nacencia de la teoría de Galois tuvo motivada pol intentu de responder a la siguiente cuestión:

¿Por qué nun esiste una fórmula pa la resolvimientu d'ecuaciones polinómicas de quintu grau (o cimeru) en términos de los coeficientes del polinomiu, usando operaciones alxebraiques (suma, resta, multiplicación, división) y l'estracción de raigaños (raigaños cuadraos, cúbiques, etc); tal como esiste pa les ecuaciones de segundu, tercer y cuartu grau?

El teorema d'Abel-Ruffini que ye parte de la teoría de Galois, da una respuesta a esta entruga. La teoría de Galois apurre non yá una elegante respuesta a esta cuestión, sinón que tamién esplica en detalle por qué ye posible resolver ecuaciones de grau inferior al quintu, y por qué les soluciones son expresables por aciu operaciones alxebraiques y estracción de raigaños.

Amás la teoría de Galois apurre respuestes a problemes clásicos de la constructibilidad por aciu riegla y compás. Ello ye que la teoría de Galois establez cuándo ye posible construyir un ciertu llargor proporcional a una dada, y gracies a eso pueden respondese a les siguientes entrugues:

¿Qué polígonus regulares son construibles por aciu riegla y compás?
¿Por qué nun ye posible la trisección d'un ángulu?

L'enfoque de la teoría de Galois usando'l grupu de permutaciones[editar | editar la fonte]

Si tenemos un polinomiu puede asoceder que dalgunes de los sos raigaños tean rellacionaes por aciu delles ecuaciones alxebraiques, que cumplan diches raigaños. Por casu, puede asoceder que pa dos de los raigaños, digamos A y B, la ecuación A2 + 5B3 = 7 sía cierta. La idea central de la teoría de Galois ye'l considerar aquelles permutaciones (o arreglos) de los raigaños que tengan la propiedá de que cualquier ecuación alxebraica satisfecha por elles sía satisfecha tamién tres la permutación o l'arreglu. Ye importante señalar qu'acutamos a ecuaciones alxebraiques que los sos coeficientes son númberos racionales. (Pueden especificase ciertos cuerpos pa los coeficientes, pero nos exemplos de baxo van ser los númberos racionales los qu'usemos.)

El conxuntu de tales permutaciones van formar un grupu de permutaciones, tamién llamáu Grupu de Galois del polinomiu (sobre los númberos racionales). Un exemplu:

Primer exemplu: ecuación cuadrática[editar | editar la fonte]

Sía la ecuación cuadrática

Por aciu l'usu de la fórmula pa la ecuación cuadrática sabemos que los sos dos raigaños son

Dalgunes de les ecuaciones alxebraiques que satisfaen A y B son

En caúna d'estes ecuaciones ye claro que si intercambiamos los papeles de A y B llogramos ecuaciones válides. Pero amás esto ye ciertu, anque menos obviu, pa cualesquier ecuación alxebraica que satisfaen A y B. Pa probalo riquir de la teoría de los polinomios simétricos.

Concluyimos que'l grupu de Galois del polinomiu consiste en dos permutaciones: la identidá que dexa A y B invariantes, y la transposición, qu'intercambia A y B. Como grupu, ye isomorfu al grupu cíclicu d'orde dos, denotado Z/2Z.

Podríamos plantegar la oxeción de qu'esiste esta otra ecuación satisfecha por A y B:

pero que nun ye cierta cuando intercambiamos los papeles. Sicasí hemos de reparar que nun nos importa pos los sos coeficientes nun son racionales; ye irracional.

De forma asemeyada podemos falar de cualquier polinomiu cuadrático , onde a, b y c son númberos racionales.

  • Si'l polinomiu tien namá un raigañu, por casu , entós el grupu de Galois ye trivial; esto ye, contien namá a la permutación identidá.
  • Si tien dos distintes raigaños racionales, por casu , el grupu ye de nuevu trivial.
  • Si tien dos raíz irracionales (inclusive el casu nel que dambes son númberos complexos), entós el grupu de Galois contien dos permutaciones, como nel exemplu anterior.

Segundu exemplu[editar | editar la fonte]

Considérese'l siguiente polinomiu:

, que puede escribise tamién

como:

Deseyamos describir el grupu de Galois d'esti polinomiu, nuevamente sobre'l cuerpu de los númberos racionales. El polinomiu tien cuatro raíz:

Esisten 4! = 24 maneres de permutar estes cuatro raíz, pero non toes estes permutaciones son miembros del grupu de Galois. Los miembros del grupu de Galois tien de caltener cualquier ecuación alxebraica con coeficientes racionales A, B, C y D. Una de diches ecuaciones ye por casu:

.

Yá que cuidao que

, la permutación
(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

nun ta permitda, porque tresforma la ecuación válida A + D = 0 na ecuación inválida A + C = .

Otra ecuación que los raigaños satisfaen ye:

.

Esto escluyiría más permutaciones, como por casu:

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

Siguiendo d'esta manera, podemos atopar que les úniques permutaciones que satisfaen los dos ecuaciones anteriores simultáneamente son:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)
(A, B, C, D) → (C, D, A, B)
(A, B, C, D) → (B, A, D, C)
(A, B, C, D) → (D, C, B, A), y por tantu'l

grupu de Galois ye isomorfu al grupu de Klein.

Grupos solubles y solución por radicales[editar | editar la fonte]

Dizse qu'un raigañu α puede espresase en radicales si α ye elementu d'un cuerpu K tal que onde . Una ecuación polinomial ye soluble por radicales si toes los sos raigaños pueden espresase en radicales.[1] Cola teoría de Galois podemos derivar el siguiente teorema:

El polinomiu f(x) (nel cuerpu F) ye soluble por radicales si y namá si'l so grupu de Galois ye soluble.[2]

El problema inversu de Galois[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Problema inversu de Galois

El problema inversu de Galois plantega si tou grupu finito pue ser el grupu de Galois de dalguna estensión de los númberos racionales. Esti problema, propuestu primeramente nel sieglu XIX por Hilbert, permanez ensin resolver.[3]

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. (2004) Abstract Algebra, 3a (en inglés), Hoboken: Wiley, 627. ISBN 978-0-471-43334-7.
  2. (2004) Abstract Algebra, 3a (en inglés), Hoboken: Wiley, 628-29. ISBN 978-0-471-43334-7.
  3. Vila (1992). «On the inverse problem of Galois theory» (en inglés). Publicacions Matemàtiques 36. Archivado del original el 4 d'abril de 2010. https://web.archive.org/web/20100404110008/http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/PUBLICACIONSMATEMATIQUES_1992_36_2B_21.pdf. Consultáu 'l 6 d'abril de 2009. 

Bibliografía[editar | editar la fonte]


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