Sucesión matemática

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Una sucesión infinita de númberos reales (n'azul). La sucesión nun ye nin creciente, nin decreciente, nin converxente, nin ye una sucesión de Cauchy. Sicasí, sí ye una sucesión acutada.

N'analís matemáticu y álxebra, una sucesión ye una aplicación que'l so dominiu ye'l conxuntu de los númberos naturales y el so codominio ye cualesquier otru conxuntu , xeneralmente de númberos de distinta naturaleza, tamién pueden ser figures xeométriques o funciones. Cada unu d'ellos ye denomináu términu (tamién elementu o miembru) de la sucesión y al númberu d'elementos ordenaos (posiblemente infinitos) denominar la llargor de la sucesión. Nun tien de confundir se con una serie matemática, que ye la suma de los términos d'una sucesión.

A diferencia d'un conxuntu, l'orde en qu'apaecen los términos sí ye relevante y un mesmu términu puede apaecer en más d'una posición. De manera formal, una sucesión puede definise como una función sobre'l conxuntu de los númberos naturales (o un subconxuntu del mesmu) y ye por tantu una función discreta.

Por casu, la sucesión (A, B, C) ye una sucesión de lletres que difier de la sucesión (C, A, B). Nesti casu falar de sucesiones finitas (de llargor igual a 3). Un exemplu de sucesión infinita sería la sucesión de númberos positivos pares: 2, 4, 6, 8...

N'ocasiones identificar a les sucesiones finitas con palabres sobre un conxuntu. Puede considerase tamién el casu d'una sucesión vacida (ensin elementos), pero esti casu puede escluyise dependiendo del contestu.

Historia[editar | editar la fonte]

Les sucesiones que siguen una riegla determinada llamaron siempres l'atención de los matemáticos de toles xeneraciones. Pero, a pesar d'esto y de que se conocíen dende tiempos alloñaos, nun fueron estudiaes de forma detallada hasta la dómina de mayor desenvolvimientu de les matemátiques nel sieglu XVIII. Foi nesi tiempu cuando se perfeccionó'l conceutu de llende d'una sucesión como'l valor al cual avérense de forma socesiva los sos términos.

Ensin cuestión dalguna, Leonhard Euler foi'l matemáticu más destacáu d'esa dómina, gracies a les sos contribuciones decisives en diversos campos de les matemátiques, sobremanera, nel campu de les sucesiones y de les series numbériques. Tamién cabo destacar al matemáticu italianu Leonardo de Pisa, quien, nel sieglu sieglu XII, introdució n'Europa una de les sucesiones matemátiques que mayor esistencia tien nos fenómenos naturales, los númberos de Fibonacci.

Polo xeneral, les sucesiones utilizar pa representar llistes ordenaes d'elemento pero, sobremanera, dientro de les matemátiques discretes son emplegaes d'otres diverses maneres como, por casu, dientro de les ciencies de la computación y na teoría de xuegos.

Xeneralidaes[editar | editar la fonte]

Notación[editar | editar la fonte]

Esisten distintos notaciones y nociones de sucesión en matemátiques, dependiendo de la área d'estudiu, dalgunes de les cualos (como por casu sucesión esacta) nun queden entendíes na notación que s'introduz de siguío.

Suelse usar la notación pa indicar una sucesión, onde fai referencia al elementu de la sucesión na posición n, llamáu términu xeneral. El subíndice indica'l llugar qu'ocupa en dicha sucesión. Un exemplu puede ser el de los númberos positivos pares, denotando dicha sucesión por :

entós

Nel casu de que los elementos de la sucesión queden determinaos por una riegla, puede especificase la sucesión faciendo referencia a la fórmula d'un términu arbitrariu. Na sucesión anterior puede especificase por aciu la fórmula .

Ye frecuente atopar sucesiones onde los subíndices que denoten posición empecipien dende cero, en vegada dende unu, particularmente en matemática discreta o en ciencies de la computación. Tamién puede usase una variable distinta a n pa denotar el términu xeneral, cuando asina convenga pa evitar tracamundiu con otres variables.

Na lliteratura ye posible atopar una gran variedá de notaciones alternatives. Por casu, usu de paréntesis en cuenta de llaves, o indicaciones de los llendes por aciu variantes con super y subíndices, de siguío amuésense dellos pocos exemplos:

Sucesiones definíes por recurrencia[editar | editar la fonte]

Una relación de recurrencia pa una sucesión ye una ecuación la cual establez el términu an en función de los términos anteriores pa tolos enteros n tales que . La sucesión en sí ye la solución de la relación de recurrencia si los sos términos cumplen la relación pa tou enteru positivu n.

Los algoritmos recursivos apurren solución a un problema de tamañu n en términos de la solución d'unu o más casos del mesmu problema, pero de menor tamañu. Un exemplu de sucesión per recurrencia ye la sucesión de Fibonacci, na cual, cada términu a partir del terceru ye la suma de los dos términos anteriores. Esta sucesión en términos xenerales defínese como:

Cuando se realiza la complexidá d'un algoritmu recursivo basáu nuna sucesión, llógrase una relación de recurrencia qu'espresa'l númberu d'operaciones necesaries pa resolver un problema de tamañu n en términos del númberu d'operaciones necesaries pa resolver el mesmu problema con unos datos de tamañu menor.

D'esta manera, puede comprobase la esistencia d'una gran relación ente les relaciones de recurrencia y la recursión, yá que sirven pa resolver una gran cantidá de problemes como, por casu, calcular el interés compuestu, calcular el númberu de movimientos del xuegu de les Torres de Hanói y el númberu de coneyos d'una islla (problema propuestu por Fibonacci y rellacionáu, por tanto, cola sucesión de Fibonacci).

Exemplos[editar | editar la fonte]

Ente les sucesiones comunes y bien utilizaes pueden atopase les que tán en progresión aritmética o en progresión xeométrica. La diferencia básica ye que na sucesión aritmética la razón de cambéu ente un miembru y otru ye la suma o resta de la mesma razón, y na sucesión xeométrica el siguiente númberu de la sucesión llograr por multiplicar o estremar la razón de cambéu. Sía que non la razón de cambéu ye constante y nun puede variar, nun siendo que'l cambéu de la razón tamién correspuenda a una sucesión, lo que supon tener una sucesión dientro d'otra sucesión.

Definición formal y propiedaes básiques[editar | editar la fonte]

Les distintes definiciones suelen tar amestaes a la área de trabayu, la más común y xeneral ye la definición de sucesión numbérica, na práctica usen sucesión de forma intuitiva.

Definición formal[editar | editar la fonte]

Una sucesión numbérica formalízase como una aplicación de los númberos naturales sobre otru conxuntu numbéricu X, de manera:

Una sucesión siendo'l conxuntu X = N puede ser por casu, la sucesión de Fibonacci. Por norma xeneral, la sucesión numbérica formalízase como una aplicación de los númberos naturales nos númberos reales. Sía que non se denota a cencielles como o, si dar por entendíu que los subíndices son enteros, tamién se denota como .

El nome que recibe la sucesión tamién puede faer referencia a los valores que toma sobre los reales; asina, si la imaxe de fueren los racionales, ye dicir fracciones enteres del tipu , puede llamase sucesión de númberos racionales, y lo mesmo pa los irracionales, naturales, enteros, alxebraicos, trascendentes, ...

Finitud y infinitud[editar | editar la fonte]

Una sucesión finita (de llargor r) con elementos pertenecientes a un conxuntu S, defínese como una función

.

y nesti casu l'elementu correspuende a . Por casu, la sucesión finita, (de llargor 4) de númberos primos menores que 10 (2,3,5,7) correspuende a la función (onde ye'l conxuntu de númberos primos) definida por:

.

Una sucesión infinita con elementos pertenecientes a un conxuntu S, defínese como una función

.

onde, de forma análoga, correspuende a .

Subsucesión[editar | editar la fonte]

Una subsucesión o sucesión parcial d'una sucesión ye la sucesión formada de la sucesión dada por aciu la eliminación de dalgunos de los sos elementos ensin alteriar la posición relativa de los elementos restantes. Por casu, la sucesión formada polos númberos pares positivos (2, 4, 6, ...) ye una sucesión parcial de los númberos naturales (1, 2, 3, ...). Les posiciones de dellos elementos camuden cuando s'esanicien otros elementos. Sicasí, les posiciones relatives caltiénense.

Formalmente, una subsucesión d'una sucesión ye cualquier sucesión de la forma , onde ye una sucesión puramente creciente d'enteros positivos. Obviamente pa una sucesión esisten delles subsucesiones.[1]

Sucesiones monótones[editar | editar la fonte]

Nuna sucesión monótona, la diferencia ente cada términu y el siguiente ye siempres del mesmu signu. Pueden ser crecientes o decrecientes.[2]

Una sucesión creciente ye aquella na que s'impon la desigualdá non estricta , esto ye, na que cada términu ye menor o igual al términu siguiente. Dientro d'estes puédense incluyir, ente otres, les sucesiones constantes. Si imponse la condición de que , esto ye, que'l siguiente términu siempres sía puramente mayor qu'el so predecesor , denominar sucesiones puramente crecientes.

De la mesma manera puede definise la sucesión decreciente, según el términu xeneral, si . Va Ser puramente decreciente si .

Sucesiones acutaes[editar | editar la fonte]

Pueden dase trés formes de sucesión acutada:

  • Una sucesión {an} va tar acutada superiormente nel casu qu'esista un númberu real M que llinde de la siguiente forma la secuencia: {an} ≤ M.
  • Per otru llau, la sucesión va tar acutada inferiormente cuando un númberu real N la llende de la forma contraria a l'anterior: {an} ≥ N.
  • Finalmente, en casu de que se dean dambes opciones {an} va ser una sucesión acutada.

Llendes y converxencia[editar | editar la fonte]

Gráfica d'una sucesión converxente {an} que s'amuesa n'azul. Del gráficu puede vese que la sucesión ye converxente al llende cero cuando s'amonta n.

Sucesiones Converxentes[editar | editar la fonte]

Artículu principal: llende d'una sucesión

Una propiedá importante de les sucesiones ye la converxencia. Si una sucesión converxe, esta tiende a un valor particular conocíu como llende. Si una sucesión converxe a dalguna llende, entós ye converxente. Una sucesión que nun ye converxente ye diverxente.

Informalmente, una sucesión tien llende si los elementos de la sucesión fáense cada vez más y más cercanos a dalgún valor (llamada llende de la sucesión), y quédense «arbitrariamente» cercanos a , lo que significa que dáu un númberu real mayor que cero, toos menos un númberu finito d'elementos de la sucesión tienen una distancia a menor que .

Formalmente, una sucesión , converxe a o tien por llende (cuando ), y escríbese,

cuando,

Si una sucesión ye converxente, entós el ye únicu y la sucesión ye acutada.

La sucesiones trémboles son diverxentes. Los sos términos alternen indefinidamente de mayor a menor o viceversa, polo que nun tienen llende. Intuitivamente llámase sucesión alternada cuando alterna valores de signu opuestu, como que xenera la sucesión: a0=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... utilizada por series alternaes.

Sucesiones de Cauchy[editar | editar la fonte]

Gráfica d'una sucesión de Cauchy {xn}.
Artículu principal: Sucesión de Cauchy

Dada la sucesión {an} de númberos reales, llámase sucesión de Cauchy o sucesión fundamental, nel casu de que satisfaiga'l requisitu siguiente: dáu un númberu real r positivu pueda consiguise dos enteros positivos p, q tal que de p > n0 y q > n0 dedúzase que |cp - cq| < r.[3]

Nos númberos reales toa sucesión de Cauchy converxe a dalguna llende. Esta particularidá implica una resultancia importante nel analís real que ye la caracterización de Cauchy pa la converxencia de sucesiones:

Una sucesión de númberos reales ye converxente (nos reales) si y solu si ye de Cauchy.

Estensión a los reales[editar | editar la fonte]

Compruébese que , ilustrando que dos funciones reales distintos pueden corresponder a una mesma sucesión sobre los enteros.

Dada una función , vamos llamar estensión nos reales de a una función que los sos valores coinciden nel dominiu de , esto ye, .

Ye incorrectu representar a la estensión nos reales col mesmu nome (), pos, tratar d'una asociación totalmente arbitraria y non unívoca que trai tracamundiu y nun tien sentíu pa delles funciones definíes a cachos. Suelse llamar a la estendida por casu o si ye un polinomiu, o o si son funciones trigonométriques, amestando subíndices si fai falta.

La función f puede adquirir propiedaes de la estendida P, si esiste P con diches propiedaes, como Llende d'una función llendes al infinitu, monotonía, acotaciones, ente otres.

Xeneralización en distintes árees[editar | editar la fonte]

Estos exemplos pretenden ser una pequena amuesa de la infinidá, puramente felicidá, d'usos que tienen diches sucesiones en matemátiques.

El trabayu internu nel desenvolvimientu de cada tema en cada área obliga a diversificar la manera de nomar y notar les sucesiones, faciéndose frecuente l'usu d'índices, subíndices y superíndices pa salvar la sobrecarga de notación y faeles más legibles y estétiques tocantes a la presentación.

L'espaciu de sucesiones finitas complexes [editar | editar la fonte]

Puede tenese una sucesión tal que

L'espaciu de sucesiones complexes o ℓ2 [editar | editar la fonte]

Puede tenese una sucesión tal que

L'espaciu de polinómico K[x][editar | editar la fonte]

Un polinomiu nun ye más qu'una sucesión finita tal que representada como .

L'espaciu de les matrices [editar | editar la fonte]

Puede tenese una sucesión tal que , onde .

Nun espaciu vectorial topolóxicu[editar | editar la fonte]

Puede tenese una sucesión , onde , onde ye una sucesión real arbitraria y B un abiertu.

Sucesiones funcionales[editar | editar la fonte]

Puede tenese una sucesión de funciones continues .

Nel llinguaxe proposicional[editar | editar la fonte]

Sía un alfabetu, vamos llamar al conxuntu de sucesiones finitas de n elementos de , defínese inductivamente pola sucesión de productos cartesianos siguiente:

  • asina .

N'homoloxía simplicial[editar | editar la fonte]

El complexu de cadenes simplicial del complexu simplicial K, nun ye más qu'una determinada sucesión de grupos abelianos y morfismos.

Nel llinguaxe de les categoríes[editar | editar la fonte]

Sía una categoría, podemos tener una sucesión , onde .

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Watson Fulks. Cálculu Avanzáu. Limusa. Méxicu, 1973
  2. A.Bouvier:Diccionariu de matemátiques(1979)
  3. Lages Lima. Cursu d'Analís Matemáticu. Edunsa. Barcelona, 1991

Bibliografía[editar | editar la fonte]

  • (1991) Analís Matemáticu I (Tomu 1). UNED. ISBN 9788436216684.
  • Watson Fulks. "Cálculu avanzáu".
  • J. Dieudonné. " Fundamentos d'analís modernu".
  • Lages Lima. " Cursu d'analís matemáticu
  • Banach. " Cálculu".
  • Spivak . "Calculus"
  • V.F. Butúzov. " Analís matemáticu"

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]

Plantía:LA Sucesión


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