Productorio

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Lletra pi mayúscula, notación del productorio.

El productorio o productoria, tamién conocíu como multiplicatorio, multiplicatoria o a cencielles productu (por denotarse como una lletra pi mayúscula), ye una notación matemática que representa una multiplicación d'una cantidá arbitraria (finita o infinita).

Notación[editar | editar la fonte]

La notación espresar cola lletra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Pa tolos valores m < n

Si m = n tenemos que:

Nel casu de que m sía mayor que n, m > n, asígnase-y el valor del elementu neutru de la multiplicación, l'unu:

Puede definise por inducción como sigue.

1. Defínese ::

2. Supuesta definida pa un n ≥ 1 fixu, defínese ::

Exemplu[editar | editar la fonte]

Puede usase el productorio pa definir otres igualdaes importantes. Asina, tomando n=1 y aplicando la segunda igualdá llógrase:

.

Definida pa n=2, puede aplicase otra vegada la segunda igualdá con n=2 pa depués llograr

.

Asina, usando la propiedá asociativa de la multiplicación, el productu ye'l mesmu que y, poro, podemos prescindir del usu de paréntesis ensin peligru de tracamundiu y usar a cencielles

.

Puédese entós, usar esti razonamientu pa cualesquier ensin qu'haya peligru de tracamundiu.

Otru exemplu de productorio bien conocíu ye'l que s'utiliza pa definir n! (n factorial) como sigue:

Defínese

Propiedaes[editar | editar la fonte]

Puede usase el métodu de inducción matemática para demostrar delles propiedaes. Pa ello, basaremos na definición formal por inducción descrita enantes.

Propiedá Multiplicativa[editar | editar la fonte]

Demostración per Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si cumple la igualdá :

y l'igualdá ye cierta pa n=1

ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n+1

(Definición per inducción)

(Asociatividad en DIR) Depués, :

Propiedá Telescópica[editar | editar la fonte]

Demostración per Inducción

i) Analicemos pa n=1

ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n+1

(Definición per inducción)

Depués, : que ye lo que queríamos demostrar.

Nótese que la nuesa esixencia yera que pa cada , . En particular, pa , . Depués la simplificación ye posible y : .

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]



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