Llende d'una socesión

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Sucesión 001.svg

El llende d'una socesión ye unu de los conceutos más antiguos del analís matemáticu. Ye'l valor al que tienden los términos de la socesión cuando toma valores bien grandes.[1] Representar por aciu , y lléese llende cuando tiende a más infinitu de sub .[1]

Esti conceutu ta estrechamente amestáu al de converxencia, una socesión d'elementos d'un conxuntu ye converxente si y solu si nel mesmu conxuntu esiste un elementu (al que se-y conoz como llende) al cual la socesión avérase tantu como se deseye a partir d'un momentu dáu. Si una socesión tien llende, dizse que ye una socesión #Tipos de converxencia converxente, y que la socesión converxe o tiende a la llende. En casu contrariu, la socesión ye diverxente.[ensin referencies]

La definición significa que eventualmente tolos elementos de la socesión avérense tantu como queramos al valor llende. La condición qu'impon que los elementos atópense arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes non implica, polo xeneral, que la socesión tenga una llende (vease socesión de Cauchy).

Qué s'entiende por próximu da llugar a distintes definiciones de llende dependiendo del conxuntu onde se definió la socesión (vease distancia).

Llende d'una socesión de númberos reales[editar | editar la fonte]

Definición formal[editar | editar la fonte]

El términu xeneral d'una socesión tien llende , cuando tiende a , si pa tou valor por pequeñu que sía, esiste un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a ye menor que , esto ye:

. x=a

Notación[editar | editar la fonte]

o bien

o tamién

o a cencielles

Exemplos[editar | editar la fonte]

  • La socesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converxe a la llende 0.
  • La socesión 1, -1, 1, -1, 1, ... ye trémbole.
  • La socesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converxe a la llende 1.
  • Si a ye un númberu real con valor absolutu |a| < 1, entós la socesión an tien llende 0. Si 0 < a ≤ 1, entós la socesión a1/n tien llende 1.

Propiedaes[editar | editar la fonte]

  • Si una socesión tien llende positiva, esiste un términu a partir del cual tolos términos de la socesión son positivos.
  • Si una socesión tien llende negativa, esiste un términu a partir del cual los términos de la socesión son negativos.
  • Si una socesión converxe a cero, non puede asegurase nada avera del signu de cada unu de los términos de la socesión.
  • Si una socesión tiende a menos infinitu y entós tiende a 0.

Llende d'una socesión complexa[editar | editar la fonte]

Dizse que la socesión converxe escontra un complexu si y solu si : Nótese que ye la mesma definición que pa , con módulu en llugar del valor absolutu.

Puede escribise

o más a cencielles, si nun hai ambigüedá

Les socesiones complexes converxentes tienen les mesmes propiedaes que les socesiones reales, sacante les de rellación d'orde: la llende ye únicu, una socesión converxente tien módulu acutáu, toa socesión de Cauchy converxe (n'efeutu, ye tamién completu).

Ejemplo[editar | editar la fonte]

  • Socesiones en ó
  • Socesiones en
  • Socesiones nel espaciu
  • Socesiones nel espaciu
  • Socesiones nel espaciu de les funciones continues

Tipos de converxencia[editar | editar la fonte]

Converxencia puntual[editar | editar la fonte]

El conceutu de converxencia puntual ye unu de los varios sentíos nos cualos una socesión de funciones puede converxer a una función particular.

Una socesión de funciones definíes nun conxuntu non vacíu con valores nun espaciu métricu converxe puntualmente a una función si

pa cada fixu. Esto significa que

(5)

La socesión de funciones con converxe puntualmente a la función cuidao que

pa cada fixu.

Converxencia uniforme[editar | editar la fonte]

Una socesión de funciones definíes nun conxuntu non vacíu con valores nun espaciu métricu converxe uniformemente a una función si pa tou esiste un enteru (que depende de ) tal que

pa tou y tou . Esto ye,

(6)

El conceutu de converxencia uniforme ye un conceutu más fuerte qu'el de converxencia puntual. En (5), puede depender de y de ente qu'en (6), namái puede depender de . Asina, toa socesión que converxe uniformemente, converxe puntualmente. L'enunciáu recíprocu ye falsu, y un contraejemplo clásicu constituyir les socesión de funciones definíes por . Esta socesión converxe puntualmente a la función

yá que

ente que Sicasí esta socesión nun converxe uniformemente, pos para nun esiste un que satisfaiga (6).

D'especial interés ye l'espaciu de les funciones continues definíes sobre un compactu Nesti casu, una socesión de funciones converxe uniformemente a una función si, y namái si, converxe na norma del sup, i.y.,

Socesiones n'otros espacios matemáticos[editar | editar la fonte]

Una socesión d'elementos d'un espaciu métricu converxe a un elementu si pa tou númberu esiste un enteru positivu (que depende de ) tal que

(1)

Intuitivamente, esto significa que los elementos de la socesión pueden faese arbitrariamente cercanos a si ye abondo grande, yá que determina la distancia ente y . A partir de la definición ye posible demostrar que si una socesión converxe, facer escontra una única llende.

La definición aplicar en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con productu internu. Nel casu d'un espaciu normado la norma induz la métrica pa cada ; nel casu d'un espaciu con productu internu el productu internu induz la norma pa cada

Converxencia uniforme sobre compactos[editar | editar la fonte]

Converxencia débil[editar | editar la fonte]

Una socesión dizse que converxe sele a o en sentíu débil si pa toa funcional llinial , converxe a .

Por casu la serie dende hasta infinitu converxe sele a cero. Pos:[ensin referencies]

Tou esto, pos ye llinial.

Llende nun espaciu topolóxicu[editar | editar la fonte]

Artículu principal: rede (matemática)

Una xeneralización d'esta rellación, pa una socesión de puntos nun espaciu topolóxicu T:

Si dizse que L ye una llende d'esta socesión y escríbese
si y solu si pa tou redolada S de L esiste un númberu natural N tal que pa tou

De forma intuitiva, suponiendo que se tien una socesión de puntos (por casu un conxuntu infinitu de puntos numberaos utilizando los númberos naturales) en dalgún tipu d'oxetu matemáticu (por casu los númberos reales o un espaciu vectorial) qu'almite'l conceutu de redolada (nel sentíu de "tolos puntos dientro d'una cierta distancia d'un dáu puntu fixu"). Un puntu L ye la llende de la socesión si pa toa redolada que se defina, tolos puntos de la socesión (cola posible esceición d'un númberu finito de puntos) tán próximos a L. Esto pue ser interpretáu como si hubiera un conxuntu d'esferes de tamaños decrecientes hasta cero, toes centraes en L, y pa cualesquier d'estes esferes, solo esistiera un númberu finito de númberos fora d'ella.

Ye posible tamién qu'una socesión nun espaciu topolóxicu xeneral, pueda tener delles llendes distintes,[ensin referencies] pero una socesión converxente tien un únicu llende si T ye un espaciu de Hausdorff, por casu la recta real (estendida), el planu complexu, los sos subconxuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rn...).

Teoría de la probabilidá[editar | editar la fonte]

En teoría de la probabilidá esisten distintes nociones de converxencia: converxencia de funciones medibles, converxencia en distribución y llendes de variables aleatories.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. 1,0 1,1 Aries Cabeces, José María (2008). «Aritmética y Álxebra», Matemátiques 1. Madrid: Grupu Editorial Cirgüeyu, Sociedá Llindada, 19. ISBN 9788421659854.

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]



Límite de una socesión