Identidá d'Euler

Llámase identidá d'Euler a un casu especial de la fórmula desenvuelta por Leonhard Euler, notable por rellacionar cinco números bien utilizaos na historia de les matemátiques y que pertenecen a distintes cañes de la mesma:

y^{i\pi }+1=0

onde:

π (númberu pi) ye un númberu irracional y trascendente que rellaciona'l llargor de la circunferencia col so diámetru y ta presente en delles de les ecuaciones más fundamentales de la física. ${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$
e (númberu d'Euler) ye la suma de la serie $y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$ , qu'apaez en numberosos procesos naturales y en distintos problemes físicos y matemáticos y ye tamién un númberu irracional y trascendente.
i (unidá imaxinaria) ye la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál constrúi'l conxuntu de los númberos complexos.
0 y 1 son los elementos neutros respeutivamente de l'adición y la multiplicación

Esplicación

La identidá ye un casu especial de la Fórmula d'Euler, que especifica que

y^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x\,\!

pa cualesquier númberu real x. (Nótese que los argumentos pa les funciones trigonométriques sen y cos tomar en radianes.) En particular si

x=\pi \,\!

entós

y^{i\pi }=\cos \pi +i\operatorname {sen} \pi \,\!

y yá que

\cos \pi =-1\,\!

y que

\operatorname {sen} \pi =0\,\!

síguese que

y^{i\pi }=-1\,\!

Lo cual implica la identidá

y^{i\pi }+1=0\,\!

Pa una forma alternativa de notar que la identidá d'Euler ye tanto verdadera como fonda, supongamos que:

x=i\pi ,\,\!

nel desenvolvimientu polinómico de y a la potencia x:

y^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...,\,\!

pa llograr:

y^{i\pi }=1+i\pi +{\frac {(i\pi )^{2}}{2!}}+{\frac {(i\pi )^{3}}{3!}}+{\frac {(i\pi )^{4}}{4!}}+...,\,\!

simplificando (usando i² = -1):

y^{i\pi }=1+i\pi -{\frac {\pi ^{2}}{2!}}-{\frac {i\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}+...,\,\!

Al dixebrar el segundu miembru de la ecuación en subseries real ya imaxinaries:

i(\pi -{\frac {\pi ^{3}}{3!}}+{\frac {\pi ^{5}}{5!}}-{\frac {\pi ^{7}}{7!}}+...)=0\quad ;\quad (1-{\frac {\pi ^{2}}{2!}}+{\frac {\pi ^{4}}{4!}}-{\frac {\pi ^{6}}{6!}}+...)=-1\!

Puede comprobase la converxencia d'estos dos subseries infinites, lo cual implica

y^{i\pi }=-1\,\!

Llogaritmos de númberos negativos

El llogaritmu natural d'un númberu complexu z = a+bi (onde a y b son númberos reales) defínese como:

\ln(z)=\ln |z|+i\arg(z)

Onde $\arg(z)=\arg(a+bi)$ ye:

\arg(a+bi)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)&\qquad a>0\\\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi &\qquad a<0,b\geq 0\\\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)-\pi &\qquad a<0,b<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad a=0,b>0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad a=0,b<0\\{\text{indetermináu}}&\qquad a=0,b=0\end{cases}}

Notar que con esta definición, arg(z) ta nel intervalu $(-\pi ,\pi ]$ (l'argumentu nesti intervalu ye conocíu como'l "valor principal del argumentu" o a cencielles "argumentu principal"). Esta definición nun ye la única posible, yá que pudo habese definíu en [0, 2π), etc.

Pa llogaritmos d'otres bases, tiense la siguiente rellación por aciu "cambéu de base" :

\log _{b}(z)={\frac {\ln(z)}{\ln(b)}}

Por casu :

\ln(-1)=\ln |-1|+i\arg(-1)=\ln(1)+i\pi =i\pi

.

Y tamién se cumple:

\ln(-x)=\ln(x)+\ln(-1)=\ln(x)+i\pi ,x>0

.

Lo anterior puede deducise de la definición. Tamién puede llograse $i\pi =\ln(-1)$ a partir de la identidá d'Euler, pero nun ye la razón de la deducción de ln(-1). Esti detalle va esplicase de siguío.

Sábese que $y^{i\pi }=-1$ , pero tamién ye ciertu que $y^{-i\pi }=-1$ o $y^{3i\pi }=-1$ . De fechu polo xeneral:

y^{i\pi (2k+1)}=-1,k\in \mathbb {Z}

L'error que puede cometese equí, ye que si $y^{a}=y^{b}$ , entós a = b. Lo anterior ye válidu si a y b son númberos reales, pero en complexos esto non se siempres se cumple. Per ende magar $y^{i\pi }=y^{-i\pi }=-1$ , nun ye ciertu que $i\pi =-i\pi$ . D'esta forma, puede vese que:

\ln(-1)=i\pi \neq -i\pi =-\ln(-1)

.

Antes mentóse que si se puede llograr $i\pi =\ln(-1)$ cola identidá d'Euler, pero nun ye recomendable faelo, porque puede cometese errores como lu describir más arriba, yá que non siempres se cumple'l fechu de que si $y^{a}=b$ entós a = ln(b).

Otru error ye lo siguiente:

\ln(-1)=\ln(-1/1)=\ln(1/-1)=\ln(1)-\ln(-1)=-i\pi

.

L'error equí asocede en $\ln(1/-1)=\ln(1)-\ln(-1)$ . Esto postreru nun ye correutu y el motivu ye que

\ln(1/-1)=\ln(1*(-1)^{-1})=\ln(1)+\ln((-1)^{-1})\neq \ln(1)+(-1)\ln(-1)=-i\pi

.

Porque $\ln(a^{b})=b\ln(a)$ solo cumplir de manera xeneral si a ye positivu. Per un sitiu $\ln((-y)^{2})=\ln((y)^{2})=2$ , pero $2\ln(-y)$ nun ye real, yá que ln(-y) nun ye un númberu real.

Identidá Aumentada

El númberu áureo (tamién llamáu númberu d'oru) ye un númberu irracional, representáu por la lletra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988....

Una de les sos propiedaes ye:

$\varphi -1=1/\varphi$