Hipótesis de Poincaré

En matemátiques, y más precisamente en topoloxía, la conxetura de Poincaré (tamién llamada hipótesis de Poincaré) ye un resultáu sobre la esfera tridimensional (la 3-esfera); la hipótesis dexó de ser una conxetura pa convertise nun teorema tres el so comprobación en 2006 pol matemáticu Grigori Perelman. El teorema sostién que la esfera cuatridimensional, tamién llamada 3-esfera o hiperesfera, ye la única variedá compacta cuatridimensional na que tou llazu o círculu zarráu (1-esfera) puédese deformar (tresformar) nun puntu. Esti postreru enunciáu ye equivalente a dicir que solo hai una variedá zarrada y a cencielles conexa de dimensión 3: la esfera cuatridimensional.

Conceutu ya historia

La superficie d'un balón de fútbol, por casu, ye casi un exemplu de variedá de dimensión 2, una 2-esfera; podemos manipoliar como queramos, dándo-y distintes formes, pero ensin rompelo, y va siguir siendo una 2-esfera. El criteriu pa comprobar si una variedá ye una 2-esfera ye bien senciellu: imaxínese una banda elástica tremendamente deformable sofitada sobre la superficie del balón; si la goma puede estruyise (ensin salise de la superficie) hasta ocupar un solu puntu, y esto en cualesquier parte de la superficie, el balón ye una 2-esfera y dizse que ye a cencielles conexa.

El problema de clasificar les variedaes nel espaciu usando como criteriu de clasificación el conceutu de homeomorfismo foi resueltu nel sieglu XIX. Asina, la esfera ye una variedá de dimensión 2 (cada cachu pequeñu de la esfera ye un pequeñu cachu de planu llixeramente deformado), zarrada y a cencielles conexa y establecióse que toa variedá de dimensión 2, zarrada y a cencielles conexa ye homeomorfa a la esfera. Dichu otra manera: namái hai una variedá (homeomórfica) de dimensión n=2, zarrada y a cencielles conexa, y trátase de la esfera (y les sos homeomorfos).

Más téunicamente, en 1904, el matemáticu francés Henri Poincaré (1854-1912) conxeturó que la resultancia llograda pa la esfera n=2 del espaciu de dimensión 3 tenía un análogu pa la esfera n=3 del espaciu de dimensión 4. N'otres pallabres, nel espaciu de dimensión 4, toa variedá de dimensión n=3, zarrada y a cencielles conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré nun consiguió probar la so conxetura. Tampoco nengunu de los sos contemporáneos nin socesores. Col tiempu, la conxetura de Poincaré cobró interés hasta convertise nel problema abiertu más notable de la topoloxía xeométrica, con destacables implicaciones pa la Física. Entá más, llegó a convertise n'unu de los problemes ensin resolver más importantes de les matemátiques.

Pa dimensión dos yá foi demostrada nel sieglu XIX. Pa n=5, hubo d'esperar hasta 1961, cuando lo fixo Erik Christopher Zeeman. Esi mesmu añu, Stephen Smale consiguir pa n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings pal casu n=6. Los casos n=3 y n=4 aguantábense y hubo qu'esperar a 1986 cuando, no que se consideró una fazaña matemática del norteamericanu Michael Hartley Freedman, consiguióse demostrar el casu n=4. El problema ye que, resueltu con ésitu pa toles demás dimensiones, el casu orixinal n=3, plantegáu por Poincaré, aguantábase denodadamente a cualquier demostración matemática hasta que'l matemáticu rusu Grigori Perelmán fixo pública la so demostración.

Henri Poincaré estableció felicidá conxetura en 1904, indicando que la esfera tridimensional yera única y que nenguna de les otres variedaes tridimensionales compartíen les sos propiedaes.

Resolvimientu de la hipótesis

Grigori Perelmán resolvió la hipótesis de Poincaré. Xustamente por resolver esti problema, Perelmán recibiera en 2006 la medaya Fields, considerada'l Nobel de les matemátiques, otru premiu que tamién refugó.

Demostración de la conxetura

Nuna esfera-2 ordinaria, cualquier llazu puede apertar de cutio hasta convertise nun puntu na superficie. ¿Esta condición caracteriza la esfera-2? La respuesta ye sí, y conozse dende enforma tiempu tras. La conxetura de Poincaré fai la mesma pregunta pa la esfera-3, non visualizable. Grigori Perelmán probó la veracidá d'esa conxetura.

L'enunciáu nun pudo ser resueltu mientres un sieglu y la so demostración foi considerada unu de los siete problemes del mileniu propuestos pol Clay Mathematics Institute.

El matemáticu rusu Grigori Perelmán anunció faelo en 2002 al traviés de dos publicaciones n'internet.

El 5 de xunu de 2006 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huaidong anunciaron la demostración completa, basándose nos trabayos preliminares de Perelmán (estos sí publicaos en revistes especializaes), lo que, una vegada realizada la so validación pola comunidá matemática, daría fin a la clasificación completa de les estructures topolóxiques de dimensión tres o tridimensionales. Sicasí, una gran parte de la comunidá matemática piensa que la demostración correspuende a Perelmán y considera el trabayu de los matemáticos chinos como un plaxu. L'Academia China de Ciencies, en defensa de Zhu Xiping y Cao Huaidong, afirmó que'l rusu "estableció les llinies xenerales pa probar la conxetura, pero nun dixo específicamente cómo resolver l'enigma".

Finalmente, reconocióse'l trabayu de Perelmán cuando se-y dio la Medaya Fields nel marcu del XXV Congresu Internacional de Matemáticos (ICM2006), con sede en Madrid, n'agostu de 2006, que refugó. En declaraciones a un selmanariu d'Estaos Xuníos (The New Yorker), Perelman aseguró nun querer ser una "mascota" nel mundu de les matemátiques, envalorando que nun precisa otra reconocencia sobre la validez del so trabayu.

Ver tamién

• Los siete problemes del mileniu

Enllaces esternos

• Maticias(2003). ¿Demostrada la Conxetura de Poincaré?
• Gaussianos(2006). Esplicación del Teorema de Poincaré-Perelman
• El País.com [Vicente Miquel Molina](2006). La conxetura de Poincaré nel Congresu de Madrid
• El Tiempu.com/Ciencia(2006). Un matemáticu rusu refugó la medaya Fields, el máximu gallardón en matemátiques
• Noticia sobre la publicación de la demostración

• Datos: Q203586