Grupu abeliano

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Dada una estructura alxebraica sobre un conxuntu A, y con una operación o llei de composición interna binaria: "". Dizse que la estructura ye un grupu abeliano con al respective de la operación si:

  1. tien estructura alxebraica Grupu.
  2. tien la Propiedá conmutativa.

Los grupos abelianos son asina llamaos n'honor al matemáticu noruegu Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos nel estudiu de les ecuaciones alxebraiques solubles por radicales.[1] Los grupos que nun son conmutativos denominar non abelianos (tamién non conmutativos, con menos frecuencia).

Notación[editar | editar la fonte]

Hai dos notaciones principales pa los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descrites de siguío.

Notación Operación Elementu
neutru
Potencies Elementos
inversos
Suma directa /
Productu directu
Adición a + b 0 na a GH
Multiplicación a * b o ab y o 1 an a−1 o 1/a G × H

La notación multiplicativa nun ye otra que la notación avezada pa los grupos, ente que la aditiva ye la notación avezada para módulos. Cuando se trabaya namá con grupos abelianos, usualmente úsase la notación aditiva.

Exemplos[editar | editar la fonte]

Tou grupu cíclicu G ye abeliano, pos si x, yG = <a>, x = am y y = an pa dellos m, n enteros, colo cual, xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. En particular, el grupu Z d'enteros so la suma ye abeliano, al igual que'l grupu de enteros módulu n, Zn.

Los númberos reales formen un grupu abeliano cola adición, al igual que los reales non nulos cola multiplicación.

Tou aníu ye un grupu abeliano con al respective de el so adición. Nun aníu conmutativu, los elementos invertibles formen un grupu abeliano so la multiplicación.

Tou subgrupu d'un grupu abeliano ye normal, y poro, pa tou subgrupu hai un grupu cociente. Subgrupos, grupos cocientes, y sumes directes de grupos abelianos son tamién abelianos.

Propiedad[editar | editar la fonte]

  • Si n ye un númberu natural y x un elementu d'un grupu abeliano G (con notación aditiva), puede definise nx = x + x +... + x (n sumandos), y (−n)x = −(nx), colo que G vuélvese un módulu sobre l'aníu Z de los enteros. Ello ye que los módulos sobre Z nun son otros que los grupos abelianos.
  • Si f, g: GH son dos homomorfismos ente grupos abelianos, la so suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) ye tamién un homomorfismo; esto nun se cumple polo xeneral pa grupos non abelianos. Con esta operación, el conxuntu de homomorfismos ente G y H vuélvese, entós, un grupu abeliano en sí mesmu.

Grupos abelianos finitos[editar | editar la fonte]

El grupu de los enteros módulu n ye un grupu cola operación de la suma módulu n. Esti grupu ye abeliano y finito.
La siguiente resultancia indícanos que los anteriores formen la estructura básica de tolos conxuntos abelianos finitos.

Teorema:[2] Tou grupu abeliano finito G ye isomorfu a , onde son númberos primos y .
Los enteros son únicos a menos del orde.

Veamos un par d'exemplos.

Salvu isomorfismos esisten cinco grupo abelianos con 16 elementos.
P'amosar ello, repare primero que 16=24, polo que les formes de descomponer 16 como productu de naturales mayores a 1 son (a menos d'orde): .
Per ende un grupu abeliano con 16 elementos ye isomorfu a unu y namá unu de los siguientes: .

Tou grupu abeliano d'orde 30 ye isomorfu a .
Esto debe a que nun hai otra forma d'escribir 30 como productu de potencies de primos que .

Una forma equivalente de dar el teorema anterior ye la siguiente:

Teorema:[2] Tou grupu abeliano finito G ye isomorfu a , onde son enteros mayores a 1 que verifiquen . Los enteros son únicos.

Esti teorema deducir del anterior utilizando que ye isomorfu a cuando n y m son coprimos.

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Encyclopedia of Mathematics. «Abelian group» (inglés). Consultáu'l 12 de xunetu de 2014.
  2. 2,0 2,1 (2003) «Groups II», Advanced modern algebra, 1 (en inglés), 249-269. ISBN 0130878685.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Grupu
Monoide
Semigrupo
Magma
Operación matemática
Operación interna
Asociatividad
Elementu neutru
Elementu simétricu


Grupo abeliano