Analís real

Analís de Fourier: Aproximamientu d'una función discontinua por aciu una serie puntualmente converxente de funciones senoidales.

El analís real o teoría de les funciones de variable real ye la caña del analís matemáticu que tien que ver col conxuntu de los númberos reales. En particular, estudia les propiedaes analítiques de les funciones y socesiones de númberos reales; el so Llende d'una función llende, continuidá y el cálculu de los númberos reales.

Algame

L'analís real ye una área del analís matemáticu qu'estudia los conceutos de socesión, llende, continuidá, diferenciación y integración. Dada la so naturaleza, l'analís real ta llindáu a los númberos reales como ferramientes de trabayu.

Resultaos importantes inclúin ente otros el teorema de Bolzano-Weierstrass, el teorema de Heine-Borel, el teorema del valor mediu y el teorema fundamental del cálculu.

Conceutos básicos

Los testos del cálculu avanzáu» de normal empiecen con una introducción a les demostraciones matemátiques y a la teoría de conxuntos. Tres esto definen los númberos reales axiomáticamente, o los constrúi con socesiones de Cauchy o como cortes de Dedekind de númberos racionales. Dempués, faen una investigación de les propiedaes de los númberos reales, siendo de les más importantes la desigualdá triangular.

Socesiones y series

En definiendo los númberos reales, investíguense les socesiones de númberos reales y el so converxencia, un conceutu central n'analís, al traviés de les llendes de socesiones o puntos d'acumuladura de conxuntos. Darréu estúdiense les series, como les series alternaes y les series de potencies.

Estúdiase, de mano a desenvolver conceutos topolóxicos elementales, dellos tipos de subconxuntos de los númberos reales: conxuntos abiertos, conxuntos zarraos, espacios compactos, conxuntos conexos, etc. Onde s'estudien el teorema de Bolzano-Weierstrass y el d’Heine-Borel.

Funciones continues

Agora estúdiense les funciones de variable real, y defínese el conceutu de función continua a partir de la definición épsilon-delta del llende d'una función. Ente les propiedaes d'una función continua definida nun intervalu destaquen los teoremas conocíos como'l teorema de Bolzano, el teorema del valor entemediu y el teorema de Weierstrass.

Derivación o diferenciación

Nesti momentu puede definise la derivada d'una función como una llende, y pueden demostrase rigorosamente los teoremas importantes sobre la derivación como'l teorema de Rolle o'l teorema del valor mediu. Constrúyense les series de Taylor y calcúlense les series de Maclaurin de les funciones esponencial y de les funciones trigonométriques.

Ye importante destacar que tamién s'estudien les funciones de delles variables tantu como les sos derivaes que son les derivaes parciales. Ye bien importante estudiar el teorema de la función inversa y el teorema de la función implícita, tantu como les funciones de Morse.

Integración

La integración definida, que puede definise imprecisamente como «la área debaxo de la gráfica» d'una función va naturalmente dempués de la derivación, de la que la integración indefinida ye la operación inversa. Empezar cola integral de Riemann, que consiste n'estremar l’intervalu en subintervalos (con una partición), estender los subintervalos escontra riba hasta que llegue, o al mínimu de la función nel subintervalo (en cual casu llámase-y la suma inferior), o al máximu nel subintervalo (en cual casu llámase-y la suma cimera). Tamién esiste otru tipu d'integral, que puede integrar más funciones, llamada la integral de Lebesgue, qu'usa la Teoría de la midida midida y el conceutu de «en casi toes partes». Ésti amuésase dempués.

Cola teoría d'integración pueden demostrase dellos teoremas, nel casu de la integración de Riemann o de Lebesgue, como'l teorema de Fubini, pero d'una manera más importante'l teorema fundamental del cálculu.

Regresu a los conceutos básicos n'ambientes más xenerales

Faciendo tou esto, ye útil tornar a los conceutos de continuidá y converxencia, y estudialos nun contestu más astractu, en preparación pa estudiar los espacios de funciones, que se fai nel analís funcional o más especializaos tal como'l analís complexu.

Ver tamién

• Analís complexu
• Analís non estándar

Enllaces esternos

• Weisstein, Eric W. «Real analysis» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.