Espaciu euclídeu

De Wikipedia
Saltar a navegación Saltar a la gueta
Cada puntu nel espaciu Euclidianu tridimensional ta determináu por tres coordenaes.

Un espaciu euclídeu ye un espaciu vectorial normáu de dimensión finita en que la norma ye heredada d'un productu escalar.

L'espaciu euclídeu ye'l espaciu matemáticu n-dimensional usual , una xeneralización de los espacios de 2 y 3 dimensiones estudiaos por Euclides. Formalmente, pa cada númberu enteru non negativu n, l'espaciu euclídeu n-dimensional ye'l conxuntu ℝn (u con ℝ queremos dicir el conxuntu de los númberos reales) xunto cola función distancia obtenida per aciu de la siguiente definición de distancia ente dos puntos (x1, ..., xn) e (y1, ...,yn): la raíz cuadrada de Σ (xi-yi)², u la suma ye sobre i = 1, ..., n.

Esta función distancia ta basada nel teorema de Pitágoras y ye nomada métrica euclídea.

El términu "espaciu euclídeu n-dimensional" ye usualmente abreviáu a "n-espaciu euclídeu", o sólo "n-espaciu". El n-espaciu euclídeu denotase por En, anque ℝn ye bastante usáu (sobreentendiendo la métrica). E2 dizse el planu euclídeu.

Por definición, En ye un espaciu métricu, y ye por tanto tamién un espaciu topolóxicu; ye'l exemplu prototípicu d'una n-variedá, y ye una n-variedá diferenciable. Pa n ≠ 4, cualquier n-variedá diferenciable que seya homeomorfa a En ye tamién difeomorfa a ella. El fechu sorprendente ye qu'esto nun ye cierto tamién pa n = 4, lo que foi probao por Simon Donaldson nel añu1982; los contraexemplos nómense 4-espacios exóticos (o falsos).

Puede decise muncho sobre la topoloxía dEn.Un resultáu importante, la invariancia del dominiu de Brouwer, ye'l de que cualesquier subconxuntu dEn que sea homeomorfu a un subconxuntu abiertu dEn ye en sí mesmu abiertu. Como consecuencia inmediata desto se tien queEm nun ye homeomorfu a En si mn -- un resultáu intuitivamente "obviu" qu'ensin embargu nun ye fácil de demostrar.

El n-espaciu euclídeu pue considerase tamién como un Espaciu vectorial n-dimensional real , de fechu un Espaciu de Hilbert, de mena natural. El productu interior, tamién nomáu productu puntu, de x = (x1,...,xn) e y = (y1,...,yn) ta dau por

Ver tamién[editar | editar la fonte]