Ecuación d'Euler (polees)

Llámase ecuación d'Euler (por Leonhard Euler), dacuando tamién llamada ecuación d'Euler-Eytelwein (por Johann Albert Eytelwein) a la ecuación fundamental que describe la tensión de la correa d'una polea. Esta suel formulase de la forma más xeneral como:

(1) ${\frac {T_{1}-{\frac {wv^{2}}{g}}}{T_{2}-{\frac {wv^{2}}{g}}}}=e^{\frac {f\alpha }{\operatorname {sen}(\phi /2)}}$

onde:

$T_{1},T_{2}$ son les tensiones de la correa antes y dempués del contautu cola polea

$w/g$ ye la densidá llinial de la correa

$v$ ye la velocidá tanxencial nel so contautu

$f$ ye'l coeficiente d'esfregadura ente polea y correa

$\alpha$ ye l'ángulu de contautu ente correa y polea

$\phi$ ye l'ángulu del trapeciu que forma la seición de la correa

anque de vezu considérase tamién que'l términu ${\frac {wv^{2}}{g}}$ ye despreciable pa una polea normal y l'ecuación puede simplificase a:

(2) ${\frac {T_{1}}{T_{2}}}=e^{\frac {f\alpha }{\operatorname {sen}(\phi /2)}}$

Demostración

Partiendo del diagrama de sólidu llibre d'un diferencial de llargor de la correa na so zona de contautu cola polea, pueden plantegase les ecuaciones d'equilibriu mecánicu:

(3) $\Sigma {}Fx=0:(T+dT)\cos \left({\frac {d\theta }{2}}\right)-T\cos \left({\frac {d\theta }{2}}\right)-fdN=0$

(4) $\Sigma {}Fy=0:(T+dT)\operatorname {sen} \left({\frac {d\theta }{2}}\right)+T\operatorname {sen} \left({\frac {d\theta }{2}}\right)-{\frac {wv^{2}}{g}}d\theta -dN\operatorname {sen} \left({\frac {\phi }{2}}\right)=0$

Como al ser un diferencial $d\theta$ ye un infinitésimu puede tomase $\cos \left({\frac {d\theta }{2}}\right)~=1$ y $\operatorname {sen} \left({\frac {d\theta }{2}}\right)~={\frac {d\theta }{2}}$, colo que dambes ecuaciones pueden simplificase a

(5) $\Sigma {}Fx=0:dT-fdN=0$

(6) $\Sigma {}Fy=0:(T+dT){\frac {d\theta }{2}}+T{}{\frac {d\theta }{2}}-{\frac {wv^{2}}{g}}d\theta -dN\operatorname {sen} \left({\frac {\phi }{2}}\right)=0$

Y sustituyendo la ecuación (5) na (6) llógrase:

(7) $Td\theta -{\frac {wv^{2}}{g}}d\theta -{\frac {dT}{f}}{}\operatorname {sen} \left({\frac {\phi }{2}}\right)=0$

Que puede reescribise como:

(8) ${\frac {fd\theta }{\operatorname {sen}({\frac {\phi }{2}})}}={\frac {dT}{T-{\frac {wv^{2}}{g}}}}$

Integrando dambos llaos de la ecuación llógrase la espresión final:

(9) ${\frac {T_{1}-{\frac {wv^{2}}{g}}}{T_{2}-{\frac {wv^{2}}{g}}}}=e^{\frac {f\alpha }{\operatorname {sen}(\phi /2)}}$

Aplicaciones

Frenu de cinta

Nun frenu de cinta, una correa ta frenando un discu. La fuercia de frenáu que la correa realiza sobre'l discu puede calculase cola espresión de la ecuación d'Euler.

Usu en sistemes de bandes tresportadores

La ecuación d'Euler emplégase tamién nel cálculu de sistemes de bandes tresportadores, pa la tensión de la banda al pasar pola estación motora. La diferencia ente la tensión del ramal entrante y el saliente a dicha estación ye pola esfregadura ente tambor y banda, que sigue la mesma ecuación:

(3) $T_{e}=T_{s}{}e^{f\alpha }$

D'esa manera puede xustificase como l'aumentu del resfregón ente banda y tambor (por casu cola adición de bandes d'apierte) o del ángulu de contautu (cola adición de tambores tensores) aumenta l'esfuerciu tractor.

Bibliografía

• Castany Valeri, Javier. Castany Valeri, Javier. Análisis de la funcionalidad de los elementos de máquinas. Prensas Universitarias de Zaragoza. ISBN 978-84-92521-04-3.