Carauterística d'Euler

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En matemática, y en particular en topoloxía alxebraica, la característica de Euler o característica de Euler-Poincaré ye un invariante topolóxicu, un númberu definíu que sirve pa describir la forma o la estructura d'una clase de espacios topolóxicos. Ye denotada xeneralmente por (la lletra griega Ji). La característica de Euler foi definida nun principiu namái pa poliedros y sirvió pa demostrar dellos teoremas como la clasificación de los sólidos platónicos. El so nome referir a Leonhard Euler, que foi'l responsable de les primeres resultaos.

Característica de Euler en poliedros[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Teorema de Euler pa poliedros

La característica de Euler d'un politopo de tres dimensiones (poliedru) puede calculase usando la fórmula siguiente:

onde V, A y C son los númberos de vértices, d'arestes y de cares, respectivamente. En particular, pa cualquier poliedru homeomorfo a una esfera tenemos


Por casu, pa un cubu tenemos 6 + 8 - 12 = 2 y pa un tetraedru tenemos 4 + 4 - 6= 2. La fórmula anterior tamién se llama la fórmula de Euler, que puede demostrase por inducción matemática o mapeos sobre una esfera.

Otros exemplos pueden atopase na siguiente tabla {| class="wikitable" |- !Nome !Imaxe !Vértices
V


!Arestes
A !Cares
C !Característica de Euler:
VA + C |- align=center |Tetraedru |Tetrahedron.png |4 |6 |4 |2 |- align=center |Cubu |Hexahedron.png |8 |12 |6 |2 |- align=center |Octaedru |Octahedron.png |6 |12 |8 |2 |- align=center |Dodecaedru |Dodecahedron.png |20 |30 |12 |2 |- align=center |Icosaedru |Icosahedron.png |12 |30 |20 |2 |}

Un poliedru que nun sía homeomorfo a una esfera, como'l Poliedru toroidal de la figura, que tien 48 cares, 22 vértices y 70 arestes vamos llograr 22 - 70 + 48 = 0.

Poliedru Toroidal de 48 cares

Tabla coles característica de Euler d'otros poliedros

Nome !Imaxe !Vértices
V


Arestes
A
Cares
C
Característica de Euler :
VA + C
Tetrahemihexaedro Tetrahemihexahedron.png 6 12 7 1
Octahemioctaedro Octahemioctahedron.png 12 24 12 0
Cubohemioctaedro Cubohemioctahedron.png 12 24 10 −2
Gran Icosaedru Great icosahedron.png 12 30 20 2

Xeneralización a les superficies[editar | editar la fonte]

Esfera triangulada a partir d'un icosaedru.

Una superficie compacta como la esfera, el toru, el bi-toru, un discu con cantu, etc. surden de deformar de forma continua un poliedru. Por casu, si deformamos un icosaedru hasta llograr una esfera les arestes van tresformar en curves sobre la esfera, les cares van ser "triángulos" y los vértices van ser puntos sobre les mesmes. Asina la esfera va quedar "triangulada" (Vease triangulación). Pa definir la característica d'una superficie usaren estes triangulaciones realizando la fórmula análoga χ(S) = Triángulos - Llaos + Vértices. En realidá les triangulaciones nun tienen de ser feches necesariamente con triángulos, sinón con cualquier polígonu, teniendo en cuenta que dos polígonos solo compartan una aresta a lo más, y que, si comparten un llau, solo compartan los dos vértices d'esi llau. Asina la xeneralización de la característica de Euler pa una superficie zarrada S ye

La característica de Euler de superficies empobinaes zarraes rellacionar cola so xéneru g, que ye un númberu que describe la cantidá de «ases» que tien la superficie. La relación ye dada por:

Por casu: El toru (la rosquía) tien una asa y polo tanto .

Definición xeneral y propiedaes[editar | editar la fonte]

Pa un CW-complexu finito y en particular pa un complexu simplicial finito, la característica de Euler puede definise como la suma alternada

onde ki denota el númberu de célules de dimensión i.

Entós, puede definise la característica de Euler d'una variedá como la característica de Euler d'un complexu simplicial homeomorfo a él. Por casu, el círculu y el toru tienen característica de Euler 0 y les boles sólides tienen característica de Euler 1.


La característica de Euler ye independiente de la triangulación. La fórmula puédese tamién utilizar pa les descomposiciones en polígonos arbitrarios.

Pa les variedaes zarraes, la característica de Euler coincide col númberu de Euler, esto ye, la clase de Euler de la so fibrado tanxente evaluáu na clase fundamental de la variedá.

Pa les variedaes de Riemann zarraes, la característica de Euler puede atopase tamién integrando la combadura -- vea'l teorema de Gauss-Bonnet pal casu de dos dimensiones y el teorema de Gauss-Bonnet xeneralizáu pal casu xeneral. Un análogu discretu del teorema de Gauss-Bonnet ye'l teorema de Descartes qu'el "defectu total" d'un poliedru, midíu en círculos completos, ye la característica de Euler del poliedru; vea defectu (xeometría).

Más xeneralmente entá, pa cualesquier espaciu topolóxicu, podemos definir el n-ésimo númberu de Betti bn como'l rangu del n-ésimo grupu de homoloxía. La característica de Euler puédese entós definir como la suma alternada

Esta definición tien sentíu si los númberos de Betti son toos finitos y cero más allá de ciertu índiz n0.

Dos espacios topolóxicos que son equivalentes homotópicos tienen grupos isomorfos d'homoloxía y polo tanto la mesma característica de Euler.

D'esta definición y la dualidá de Poincaré, síguese que la característica de Euler de cualquier variedá zarrada de dimensión impar ye cero.

Si M y N son espacios topolóxicos, entós la característica de Euler del so productu M × N ye

.

Conxuntu parcialmente ordenáu[editar | editar la fonte]

El conceutu de característica de Euler d'un poset finito acutáu ye otra xeneralización, importante en combinatoria. Un poset ye acutáu si tien elementos mínimos y máximos, que podemos llamar 0 y 1. La característica de Euler de tal poset ye μ(0,1), onde μ ye la función de Möbius nel álxebra d'incidencia d'esi poset.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]



Característica de Euler