Cálculu multivariable

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El cálculu multivariable (o cálculu en delles variables) nun ye más que la estensión del cálculu infinitesimal a funciones angulares y vectoriales de delles variables.

Riolo angular con dos variables

Cálculu diferencial en campos angulares y vectoriales[editar | editar la fonte]

Funciones de Rn en Rm. Campos angulares y vectoriales[editar | editar la fonte]

Vamos Formular les definiciones pa campos vectoriales. Tamién van ser válides para campos angulares. Sía : un campu vectorial que fai corresponder a tou puntu P definíu biunívocamente pol so vector posición un vector onde'l puntu O ye'l nuesu orixe de coordenaes.

con y . Cuando tenemos un riolo angular. Pa tenemos un campu vectorial. Vamos Utilizar la norma euclídea pa topar la magnitú de los vectores.

Llendes y continuidá[editar | editar la fonte]

Sean y Escribimos:

, :
o bien, :
cuando
pa espresar lo siguiente:

onde ye la norma euclídea de . Espresándolo en función de les componentes de

o, de forma equivalente, :

Dicimos qu'una función ye continua en

a)
b)
c)
(productu angular de con ).
d)

Plantía:Demostración

Sean y dos funciones tales que la función compuesta ta definida en , siendo :

ye continua en y ye continua en ye continua en .

Plantía:Demostración

Derivaes direccionales[editar | editar la fonte]

Derivada d'un campu angular al respective de un vector[editar | editar la fonte]

Derivada vectorial2.PNG

Sía . Sía un vector que'l so orixe ye l'orixe de coordenaes y que'l so estremu y un vector arbitrariu de . Definimos la derivada de f en al respective de como :

Derivaes parciales[editar | editar la fonte]

Si derivamos la espresión anterior al respective de una segunda variable, , vamos tener . Na práutica, vamos calcular derivando al respective de y suponiendo constante.

La diferencial[editar | editar la fonte]

Definición de campu angular diferenciable[editar | editar la fonte]

Dicimos que f ye diferenciable en

.
hai de ser una aplicación llineal, que definimos como la diferencial de f en a.
L'anterior ecuación ye la fórmula de Taylor de primer orde pa .

Teorema d'unicidá de la diferencial[editar | editar la fonte]

ye diferenciable en con diferencial

a)
b)

Plantía:Demostración

Regla de la cadena[editar | editar la fonte]

Sía un campu angular y . Definimos la función compuesta como , entós

Diferencial d'un campu vectorial[editar | editar la fonte]

Sía un campu vectorial. Sía y un vector cualesquier. Definimos la derivada :

Espresando en función de los sos componentes, tenemos

Dicimos que ye diferenciable , aplicación llineal que verifica:

.
Esta ye la fórmula de Taylor de primer orde pa .

La matriz de ye'l so matriz jacobiana.

Diferenciabilidad implica continuidá[editar | editar la fonte]

Si un campu vectorial ye diferenciable en ye continuu en .

Deduzse fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orde yá vista.

Regla de la cadena pa diferenciales de campos vectoriales[editar | editar la fonte]

Sía un campu vectorial definíu y diferenciable en . El so diferencial resulta ser

Condición abonda pa la igualdá de les derivaes parciales mistes[editar | editar la fonte]

dambes derivaes parciales esisten y son continues en .

Aplicaciones del cálculu diferencial[editar | editar la fonte]

Cálculu de máximos, mínimos y puntos de ensilladura pa campos angulares[editar | editar la fonte]

Un campu angular tien un máximu en esiste una n-bola

Un campu angular tien un mínimu en esiste una n-bola

Un campu angular tien un puntu de ensilladura

.
Función con un puntu de ensilladura

Pa saber si ye unu de los casos anteriores:

  1. Llogramos
  2. Llogramos la matriz hessiana de f. Sía esta .
    1. ye definida positiva tien un mínimu local (mínimu relativu) en .
    2. ye definida negativa tien un máximu local (máximu relativu) en .
    3. ye indefinida tien un puntu de ensilladura en .

No enantes espuesto, supunximos que ye continua

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]


Cálculo multivariable