Trigonometría

Trigonometría
área de les matemátiques
xeometría

La trigonometría (Griegu trigōnon "triángulu" + metron "midida", d'ehí que'l so significáu etimolóxicu vien a ser: la midición de los triángulos). La trigonometría ye una estaya de les matemátiques qu'estudia les rellaciones ente los ángulos y los llaos de los triángulos. Pa esto la trigonometría fai usu del estudiu de las funciones o razones trigonométriques, que son usaes davezu nos cálculos téunicos. La trigonometría aplícase a otres estayes de la xeometría, como ye'l casu del estudiu de les esferes, de la xeometría del espaciu.

Caltién delles aplicaciones: les téuniques de triangulación, por exemplu, son usaes n'astronomía para midir distancies a estrelles próximes, na midición de distancies ente puntos xeográficos, y en sistemes de ñavegación por satélites.

Unidaes angulares

Na midida d'ángulos, y poro, na trigonometría, empléguense tres unidaes, magar que la más usada na vida diario ye'l Grau sesaxesimal, en matemátiques ye'l Radián la más utilizada, y defínese como la unidá natural pa midir ángulos. El Grau centesimal, desendolcóse como la unidá más averada al Sistema Decimal, pero'l so usu ye menor, sacantes na Topografía au s'usa enforma.

Radián: unidá angular natural na trigonometría, nuna circunferencia dafecha hai $2\pi$ radianes.

Grau sesaxesimal: unidá angular que dixebra una circunferencia en 360°.

Grau centesimal: unidá angular que dixebra la circunferencia en 400 graos centesimales.

Funciones trigonométriques

El triángulu ABC ye un triángulu rectángulu en C; usarémoslu pa definir les funciones, senu, cosenu y tanxente, del ángulo $\alpha \,$, que correspuende al vértiz A, allugáu nel centru de la circunferencia.

• El senu (abreviáu como sen, o sin por nomase "sine" n'inglés) ye la razón ente'l catetu opuestu y la hipotenusa,

$\operatorname {sen} (\alpha )={\frac {a}{c}}$

• El cosenu (abreviáu como cos) ye la razón ente'l catetu axacente y la hipotenusa,

$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$

• La tanxente (abreviáu como tan o tg) ye la razón ente'l catetu opuestu y l'axacente,

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$

Ye'l cociente del senu ente'l cosenu.

Otres razones trigonométriques

Defínese la cosecante, la secante y la cotanxente, como les razones inverses al senu, cosenu y tanxente, del siguiente mou:

• cosecante: (abreviáu como csc o cosec) ye la inversa de senu:

$\csc(\alpha )={\frac {1}{\operatorname {sen} (\alpha )}}={\frac {c}{a}}$

• secante: (abreviáu como sec) ye la inversa de cosenu:

$\sec(\alpha )={\frac {1}{\cos(\alpha )}}={\frac {c}{b}}$

• cotanxente: (abreviáu como cot o cta) ye la inversa de la tanxente:

$\cot(\alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}={\frac {b}{a}}$

Davezu empléguense les funciones trigonométriques: senu, cosenu y tanxente, y sacante qu'heba un interés específicu en falar d'ellos o les espresiones matemátiques se simplifiquen enforma, los términos cosecante, secante y cotanxente nun suelen utilizase.

Funciones trigonométriques inverses

En trigonometría, cuando l'ángulu s'espresa en radianes (dau qu'un radián ye l'arcu de circunferencia de llonxitú igual al radiu), suel denomase arcu a cualesquier cantidá espresao en radianes; por eso les funciones inverses denómense col prefixu arcu, d'esta miente si:

$y=\operatorname {sen} (x)\,$

y ye igual al senu de x, la función inversa:

$x=\operatorname {arcsen} (y)\,$

x ye l'arcu que'l so senu vale y, o tamién x ye l'arcosenu de y.

si:

$y=\cos(x)\,$

y ye igual al cosenu de x, la función inversa:

$x=\arccos(y)\,$

x ye l'arcu que'l so cosenu vale y, que se diz: x ye l'arcocosenu de y.

si:

$y=\tan(x)\,$

y ye igual al tanxente de x, la función inversa:

$x=\arctan(y)\,$

x ye l'arcu que la so tanxente vale y, ó x ye igual al arcotanxente de y.

Valor de les funciones trigonométriques

Dalgunos valores de les funciones que ye aconseyable alcordar:

Radián	Ángulu	sen	cos	tan	csc	sec	ctg
$0\;$	$0^{o}\,$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	$0\,$	$\infty$	$1\,$	$\infty$
${\frac {\pi }{6}}$	$30^{o}\,$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$2\,$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {\pi }{4}}$	$45^{o}\,$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1\,$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$	$1\,$
${\frac {\pi }{3}}$	$60^{o}\,$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2\,$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\frac {\pi }{2}}$	$90^{o}\,$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	$\infty$	$1\,$	$\infty$	$0\,$

Sen de les funciones trigonométriques

Daos los exes de coordenaes cartesianes xy, de centru O, y un círculu con centru n'O y radiu 1; el puntu de tayu de la circunferencia col llau positivu de les x, consiñámoslu como puntu B.

La reuta r, que pasa per O y ensama un ángulu a sobro l'exe de les x, taya a la circunferencia nel puntu C, la vertical que pasa per C, taya al exe x n'A, la vertical que pasa per B taya a la reuta r nel puntu D.

Por semeyanza de triángulos:

${\frac {\;{\overline {AC}}\;}{\overline {OA}}}={\frac {\;{\overline {BD}}\;}{\overline {OB}}}$

La distancia ${\overline {OB}}$, ye'l radiu de la circunferencia, nesti casu al ser una circunferencia de radiu = 1, y daes les definiciones de les funciones trigonométriques:

$\operatorname {sen} (a)={\overline {AC}}\,$

$\cos(a)={\overline {OA}}\,$

$\tan(a)={\overline {BD}}\,$

tenemos:

${\frac {\operatorname {sen} (a)}{\cos(a)}}={\frac {\tan(a)}{1}}$

La tanxente ye la rellación del senu ente'l cosenu, según la definición ya asoleyada.

Primer cuadrante

Partiendo d'esta representación xeométrica de les funciones trigonométriques, podemos adicar les variaciones de les funciones a midida qu'aprovez l'ángulu a.

Pa a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, poro:

$\operatorname {sen} (0)=0\,$

$\cos(0)=1\,$

$\tan(0)=0\,$

Si aprovecemos progresivamente el valor de a, les distancies AC y BD xorrecerán progresivamente, metantu que OA amenorgará, decatase que OA y AC tán llendaos pola circunferencia y poro, el so máximu valor absolutu será 1, pero BD nun tá limitáu, dau que D ye'l puntu de tayu de la reuta r que pasa per O, y la vertical que pasa per B, nel intre nel que l'ángulu a seya 0,5 $\pi$ rad, la reuta r será la vertical que pasa per O. Dos reutes verticales nun se tayen, o lo que ye lo mesmo la distancia BD será infinita, la tanxente toma valor infinitu cuando a= 0,5 $\pi$ rad, el senu vale 1 y el cosenu 0.

Segundu cuadrante

Cuando l'ángulu a supera l'ángulu reutu, el valor del senu entama a amenorgar según el segmentu AC, el cosenu medra según el segmentu OA, pero nel sen negativu de les x, el valor del cosenu toma sen negativu, si bien el so valor absolutu enanta cuando l'ángulu sigui medrando.

La tanxente pa un ángulu a inferior a 0,5 $\pi$ rad faise infinita nel sen positivu de les y, pal ángulu reutu la reuta vertical r que pasa per O y la vertical que pasa per B nun se tayen, poro la tanxente nun toma nengún valor real, cuando l'ángulu supera los 0,5 $\pi$ rad y pasa al segundu cuadrante la prollongación de r taya a la vertical que crucia per B nun punto B real, nel llau negativu de les y, la tanxente toma valor negativu, y el so valor absolutu amenorga a midida que l'ángulu a medra progresivamente hasta los $\pi$ rad.

Resumiendo: nel segundu cuadrante el senu de a, embrive progresivamente'l so valor dende 1, que toma pa a= 0,5 $\pi$ rad, hasta que valga 0, pa a= $\pi$ rad, el cosenu, toma valor negativu y el so valor cimbla dende 0 pa a= 0,5 $\pi$ rad, hasta –1, pa a= $\pi$ rad.

La tanxente caltién la rellación:

$\tan(a)={\frac {\operatorname {sen} (a)}{\cos(a)}}$

incluyendo el signu d'estos valores.

Tercer cuadrante

Nel tercer cuadrante, encontáu ente los valores del ángulu a de $\pi$ rad a 1,5 $\pi$ rad, produzse un cambéu de los valores del senu el cosenu y la tanxente, dende los que tomen pa $\pi$ rad:

$\operatorname {sen} (\pi )=0\,$

$\cos(\pi )=-1\,$

$\tan(\pi )=0\,$

Cuando l'ángulu a medra progresivamente, el senu medra en valor absolutu nel sen negativu de les y, el cosenu amenorga en valor absolutu nel llau negativu de les x, y la tanxente medra del mesmu mou que lo facía nel primer cuadrante.

A midida que l'ángulu xorrez, el puntu A avérase a O, y el segmentu OA, el cosenu faise más pequeñu nel llau negativu de les x, el puntu C, interseición de la circunferencia y la vertical que pasa per A, allónxase del exe de les x, nel sen negativu de les y, el senu, y el puntu D, interseición de la prollongación de la reuta r y la vertical que pasa per B, allónxase del exe de les x nel sen positivu de les y, la tanxente.

Cuando l'ángulu a algame 1,5 $\pi$ rad, el puntu A coincide con O y el cosenu valdrá cero, el segmentu OC será igual al radiu de la circunferencia, nel llau negativu de les y, y el senu valdrá –1, la reuta r del ángulu y la vertical que pasa per B sedrán paraleles y la tanxente tomará valor infinitu pel llau positivu de les y.

El senu, el cosenu y la tanxente siguen calteniendo la mesma rellación, tanto nos valores como nel signu, hai de decatase que cuando'l cosenu vale cero, la tanxente faise infinitu.

Cuartu cuadrante

Nel cuartu cuadrante, qu'enconta los valores del ángulu a ente 1,5 $\pi$ rad y 2 $\pi$ rad, les variables trigonométriques cimblen dende los valores que tomen pa 1,5 $\pi$ rad:

$\operatorname {sen} (1,5\,\pi )=-1\,$

$\cos(1,5\,\pi )=0\,$

$\tan(1,5\,\pi )=\infty \,$

hasta los que tomen pa 2 $\pi$ rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

$\operatorname {sen} (2\,\pi )=\sin(0)=0\,$

$\cos(2\,\pi )=\cos(0)=1\,$

$\tan(2\,\pi )=\tan(0)=0\,$

como pue adicase a midida que l'ángulu a, tamién medra'l cosenu nel llau positivu de les x, el senu disminúi nel llau negativu de les y, y la tanxente tamién amenorga nel llau negativu de les y.

Cuando a, vale 2 $\pi$ o 0 $\pi$ al afechar una rotación dafecha los puntos A, B y C, coinciden en D, faciendo que'l senu y la tanxente valgan cero, y el cosenu uno, del mesmu mou qu'al entamase el primer cuadrante.

Representación gráfica

Representación de les funciones trigonométriques nel planu xy.

Identidaes trigonométriques

Como nel triángulu rectángulu cúmplese que $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, de la figura d'enantes tiense que sen α = a, cos α = b, c = 1; entós pa tou ángulu α.

$\operatorname {sen} ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$

Dalgunes identidaes trigonométriques importantes son les siguientes:

sen (90 + α) = cos α

cos (90 – α) = sen α

sen (180 – α) = sen α

cos (180 – α) = –cos α

sen 2α = 2 sen α cos α

cos 2α = cos²α - sen²α

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β

sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β

cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β

2 sen α cos β = sen (α + β) + sen (α – β);

sen²(α) = 1/2 × (1 – cos(2 × α));

cos²(α) = 1/2 × (1 + cos(2 × α));

sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)Cos(α - β)

ver tamién:Sinusoide

Función tanxente

Nun triángulu rectángulu, la tanxente (abreviada como tan o tg) ye la razón ente'l catetu opuestu y el catetu axacente.

$\tan(a)=BC/AC=\operatorname {sen} (a)/\cos(a)$

El valor de la tanxente pa dalgunos ángulos importantes ye:

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos

tan (π/2) = tan (90°) = +∞

tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞

tan (0) = 0

tan (π/4) = tan (45°) = 1

tan (π/3) = tan (60°)= ${\sqrt {3}}$

tan (π/6) = tan (30°) = ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$

Una identidá d'importancia cola tanxente ye:

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan(\alpha )+\tan(\beta )}{1-\tan(\alpha )\tan(\beta )}}$

Ver tamién

• Función trigonométrica
• Identidá trigonométrica
• Tabla trigonométrica
• Funciones hiperbóliques
• Fórmula d'Euler
• Trigonometría esférica

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a Trigonometría.

• Datos: Q8084
• Multimedia: Trigonometry
• Llibros: Trigonometría