Cosenu

En trigonometría el cosenu (abreviáu cos) defínese como la razón ente'l catetu axacente y la hipotenusa. O tamién como l'abcisa correspondiente a un puntu que pertenez a una circunferencia unitaria centrada nel orixe.

En matemátiques el cosenu ye la función algamada al facer variar la razón mentada, siendo una de les funciones trescendentes.

Cosenu d'una suma o resta

$\theta,\phi \in\ \mathbb{R}$ Entós:

$\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)$

Si facemos

$\cos \left(\phi +(- \theta \right))=cos (\phi)cos(-\theta)-sin(\phi)sin(-\theta)$

algamamos la resta. Como'l cosenu ye par, el signu nun importa y como'l senu ye impar, el signu sal:

$\cos \left(\phi -\theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)+sin(\phi)sin(\theta)$

Cosenu d'un ángulu duble

Tenemos que

$\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)$

Faciendo $\theta=\phi$ Entós

$cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)$

Cosenu del ángulu mediu

Hai de decatase que namái con un cenciellu remanéu alxebraicu podemos algamar la fórmula del cosenu del ángulu mediu. Seya $\alpha, \phi \in \mathbb{R}$

Como $cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)$

podemos escribila como

$cos \left(2\phi \right) =1-2sin^2(\phi)$

Seya $\phi=\frac{\alpha}{2}$

Entós algamamos

$|cos(\frac{\alpha}{2})|=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}$

y analizando los signos de la espresión pa cada cuadrante, finamos con que:

$cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}$

Tresformación d'una suma de cosenos en productu

$Cos(\phi)+Cos(\theta)=2cos(\frac{\phi + \theta}{2})cos(\frac{\phi - \theta}{2})$

Amosamientu

Tomamos $\alpha\,\beta\,\theta,\phi \in\ \mathbb{R}$

Entós

$Cos \left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta)=cos (\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)+cos (\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$

$Cos \left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta)=2cos (\alpha)cos(\beta)$

Faciendo $\theta =\alpha +\beta$ y $\phi =\alpha -\beta$

Entós, resolviendo el sistema, tiense que

$\alpha\ =\frac{\theta + \phi}{2}$

$\beta\ =\frac{\theta - \phi}{2}$

Reemplazando algámase

$Cos \left(\phi \right)+Cos(\theta)=2cos(\frac{\theta + \phi}{2})cos(\frac{\theta - \phi}{2})$

Análogamente amuésase que

$Cos(\phi)-Cos(\theta)=-2Sin(\frac{\phi + \theta}{2})Sin(\frac{\theta - \phi}{2})$

Derivada del Cosenu

Según la definición de derivada:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

lo que ye

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x + h) - \cos(x)}{h}$

Entós, usando les fórmules anteriormente consiñaes, tiense que

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot \cos(h)-\sin(x)\cdot \sin(h)- \cos(x)}{h}$

Fautorizando

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot((\cos(h)-1))-\sin(x)\cdot\sin(h)}{h}$

Separtando tenemos

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot((\cos(h)-1))}{h}- \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin(x)\cdot\sin(h)}{h}$

Sabiendo que $\lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin(h)}{h}=1$ y que'l primer límite queda determináu pola regla de L'Hopital, entós tenemos que

$\cos' \left(x \right)= -\sin(x)$

Ver tamién

• Arcocosenu
• Sinusoide
• Trigonometría
• Función matemática
• Función par
• Función impar